НПСФ 2012, Специална тема — Задача 2. Брауново движение

Национално състезание по физика, Шумен, 11 април 2012 г. — Специална тема · 11 април 2012 г. · 10 т.

Условие

Брауновото движение е хаотично топлинно движение на фини частици (т. нар. Браунови частици) поради случайните им удари с молекулите на обкръжаващата ги среда. Всъщност, Брауновата частица може да се разглежда като една гигантска молекула, за чието движение са в сила основните закони на молекулно-кинетичната теория.

*Упътване към задачата. За една величина X, която приема случайни положителни стойности, можете да приемете, че $\overline{X^2} \approx \left(\overline{X}\right)^2$, т.е. средната стойност на нейния квадрат е приблизително равна на квадрата от нейната средна стойност. В конкретната задача това приближение води до грешка от порядъка на 10% за търсените средни стойности.

Физични константи. Константа на Болцман: $k_\mathrm{B} = 1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$.

А) Сферична неразтворима Браунова частица с диаметър $d = 1.0\ \mu\mathrm{m}$ и плътност $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ извършва Брауново движение във вода при температура $T = 300\ \mathrm{K}$. Оценете средната скорост $\overline{v}$ на топлинно движение на частицата*. [3 т.]

Б) Поради случайния характер на ударите на молекулите в Брауновата частица, нейната траектория е сложна начупена линия. Приемете, че между два поредни удара частицата се движи праволинейно, като изминава едно и също разстояние – т. нар. свободен пробег $l$, а посоката й на движение след даден удар сключва с посоката й на движение преди удара случаен ъгъл $\theta$ между $0^\circ$ и $180^\circ$ (вж. Фиг. 2.1). На какво средно разстояние $\overline{R}_\mathrm{N}$ ще се отдалечи частицата от началното си положение след голям брой удари $N$ с молекулите на водата. Изразете отговора чрез $l$ и $N$. [3 т.]

В) В началния момент ($t = 0$) три еднакви Браунови частици, подобни на частицата, описана в т. А, се намират в центъра на координатната система ($X = 0$, $Y = 0$). Движението им се наблюдава под микроскоп, като се фотографират през интервали време $\Delta t = 100\ \mathrm{s}$, както е показано на четирите кадъра от Фиг. 2.2. Като използвате данните от снимките, оценете свободния пробег $l$ на Брауновите частици, както и средното време $\tau$ между последователните им удари с молекулите на водата.

При решаването на тази подточка можете (но не е задължително) да използвате празната координатна мрежа, дадена на Фиг. 2.3. В този случай предайте листа с построените от Вас графики заедно с останалите листа от решението!. [4 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2012_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2012_STsolutions.pdf