Съдържание

НПСФ 2013, 11–12 клас — Задача 1. Светлини и сенки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2013

Национално пролетно състезание по физика 2013, Тема за 11.–12. клас · 16 март 2013 г. · 10 т.

Условие

Играч на голф изстрелва топката с начална скорост $v_0$ под ъгъл $\alpha$ спрямо хоризонта. Слънцето осветява играча в гръб, като слънчевите лъчи сключват ъгъл $\beta$ с хоризонта. Играчът не вижда летящата топка, но може да проследи с поглед сянката, която тя хвърля върху земната повърхност. Осите $X$ и $Y$ на координатната система са насочени съответно хоризонтално и вертикално. Координатното начало е в точката на изстрелване. Земното ускорение е $g$ .

Голфър изстрелва топка от координатното начало под ъгъл алфа спрямо оста X; успоредни слънчеви лъчи падат под ъгъл бета отляво; топката е в точка с координати x и y, а сянката ѝ — в точката x_s върху оста X. — Фигурата към задача 1: топката, изстреляна под ъгъл $\alpha$ , и сянката ѝ върху земната повърхност.

Упътване. Ако е нужно, можете да използвате следните тригонометрични равенства:

\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}; \qquad \mathrm{cotg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}; \qquad \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta

А) Нека в даден момент координатите на топката са $x$ и $y$ . Получете израз за координатата $x_S$ на сянката на топката (вж. фигурата). [1 т.]

Б) Получете закона за движение $x_s(t)$ на сянката, т.е. зависимостта на нейната координата $x_s$ от времето $t$ след изстрелването. [2 т.]

В) Получете изрази за началната скорост $v_{S0}$ и за ускорението $a_S$ на сянката. [1,5 т.]

Г) Без да правите изчисления, отговорете на следния въпрос. В кой от двата случая: $\alpha > \beta$ или $\alpha < \beta$ , сянката ще се отдалечи от точката на изстрелване на максимално разстояние $L_S$ , по-голямо от разстоянието $L$ , на което се приземява топката? Пояснете вашия отговор с подходящи чертежи. [2 т.]

Д) Получете изрази за максималното разстояние $L_S$ , на което сянката се отдалечава от точката на изстрелване в два случая: 1) $\alpha > \beta$ и 2) $\alpha < \beta$ . [3,5 т.]

Отговори

Решение

А) Нека топката се намира в т. $A$ , нейната проекция върху $X$ – в т. $B$ , а сянката – в т. $S$ по продължение на светлинния лъч, минаващ през $A$ . Като вземем предвид, че $\angle ASB = \beta$ , от правоъгълния триъгълник $ABS$ намираме:

BS = AB\cot\beta

Понеже $x_S = OA + BS = x + BS$ и $AB = y$ , получаваме:

(1)\qquad x_S = x + y\,\mathrm{cotg}\,\beta \qquad \textbf{[1.0 т]}

Б) Законите за движение на топката в направление на координатните оси имат вида:

(2)\qquad x(t) = v_0\cos\alpha\cdot t \qquad \textbf{[0.5 т]}

(3)\qquad y(t) = v_0\sin\alpha\cdot t - \frac{gt^2}{2} \qquad \textbf{[0.5 т]}

Като заместим изразите за $x$ и $y$ в уравнение (1), намираме:

(4)\qquad x_S(t) = v_0\left(\cos\alpha + \sin\alpha\,\mathrm{cotg}\,\beta\right)t - \frac{g\,\mathrm{cotg}\,\beta\cdot t^2}{2} \qquad \textbf{[1.0 т]}

В) Като сравним уравнение (4) със закона за равноускорително движение:

(5)\qquad x = v_{S0}t + \frac{a_St^2}{2}, \qquad \textbf{[0.5 т]}

намираме:

(6)\qquad v_{S0} = v_0\left(\cos\alpha + \sin\alpha\,\mathrm{cotg}\,\beta\right) \qquad \textbf{[0.5 т]}

(7)\qquad a_S = -g\,\mathrm{cotg}\,\beta \qquad \textbf{[0.5 т]}

Два чертежа: вляво при алфа по-голямо от бета лъчът е допирателен към траекторията и пресича оста X в L_S след точката на падане L; вдясно при алфа по-малко от бета лъчът минава през точката на падане и L = L_S. — Чертежите към подусловие Г) от решението на задача 1: случаите $\alpha > \beta$ и $\alpha < \beta$ .

Г) (вж. чертежите) [0.5 т] [0.5 т]

Когато $\alpha > \beta$ , максималното разстояние, на което се отдалечава сянката, се определя от пресечната точка с оста $X$ на лъча, който е допирателен към траекторията на топката. В този случай $L_S > L$ . [0.5 т]

Когато $\alpha = \beta$ , никой от лъчите не се допира до траекторията и $L_S = L$ . [0.5 т]

Д) 1) $\alpha > \beta$

Както се вижда от чертежа, в този случай сянката отначало се отдалечава, докато достигне максималното разстояние $L_S$ , след което започва да се връща, докато достигне точката на падане на топката. В момента, в който сянката достига максимално разстояние, нейната скорост $v_S$ е нула. Понеже при равнопроменливо движение:

(8)\qquad v_S(t) = v_{S0} + a_St = v_0\left(\cos\alpha + \sin\alpha\,\mathrm{cotg}\,\beta\right) - g\,\mathrm{cotg}\,\beta\cdot t, \qquad \textbf{[0.5 т]}

намираме момента $t_0$ на максимално отдалечаване:

(9)\qquad t_0 = \frac{v_0\left(\cos\alpha + \sin\alpha\,\mathrm{cotg}\,\beta\right)}{g\,\mathrm{cotg}\,\beta} \qquad \textbf{[0.5 т]}

и съответно от уравнение (4) – максималното разстояние:

(10)\qquad L_S = x_S(t_0) = \frac{v_0^{\,2}\left(\cos\alpha + \sin\alpha\,\mathrm{cotg}\,\beta\right)^2}{2g\,\mathrm{cotg}\,\beta} = \frac{v_0^{\,2}\sin^2(\alpha+\beta)}{g\sin(2\beta)}. \qquad \textbf{[1.0 т]}

2) $\alpha < \beta$

В този случай е нужно да намерим момента $t_1$ , в който топката пада, т.е. $y = 0$ . От уравнение (3) намираме:

(11)\qquad t_1 = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}. \qquad \textbf{[0.5 т]}

Понеже $L_S = L$ , можем да заместим $t_1$ както в уравнение (2), така и в уравнение (4). Резултатът е един и същ:

(12)\qquad L_S = x_S(t_1) = x(t_1) = \frac{2v_0^{\,2}\sin\alpha\cos\alpha\left(\cos\alpha + \sin\alpha\,\mathrm{cotg}\,\beta\right)^2}{g} = \frac{v_0^{\,2}\sin(2\alpha)}{g} \qquad \textbf{[1.0 т]}

Оригинал в Архива: proletni_2013_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2013_11-12solutions.pdf