Съдържание

НПСФ 2013, 11–12 клас — Задача 2. Сили на опън

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2013

Национално пролетно състезание по физика 2013, Тема за 11.–12. клас · 16 март 2013 г. · 10 т.

Условие

Топче с маса $m = 1$ kg е окачено на две нишки 1 и 2, сключващи съответно ъгли $\alpha = 30°$ и $\beta = 45°$ с вертикалата, както е показано на фигурата. Земното ускорение е $g = 10$ m/s $^2$ .

А) Изобразете на чертеж силите, които действат на топчето. [1,5 т.]

Б) Пресметнете силите $T_1$ и $T_2$ на опън на нишките. [3 т.]

В) Нишката 2 е прерязана, при което топчето започва да се люлее на нишката 1. Изобразете на чертеж посоката на ускорението $\vec{a}$ на топчето и силите, които му действат веднага след прерязването на нишката. Определете големина $a$ на ускорението и силата на опън $T$ на нишката 1 в този момент. [3 т.]

Г) Намерете силата на опън $T$ на нишката 1 в момента, когато тя достига вертикално положение. [2,5 т.]

Топче, окачено на две нишки към хоризонтален таван; нишка 1 сключва ъгъл алфа, а нишка 2 — ъгъл бета с пунктирана вертикална линия през топчето. — Фигурата към задача 2: топче, окачено на две нишки 1 и 2, сключващи ъгли $\alpha$ и $\beta$ с вертикалата.

Отговори

Решение

А) Въвеждаме координатна система, както е показано на чертежа. За чертеж с правилно означени посоки на силите [1.5 т]

Силите върху топчето: опъните T1 и T2 по нишките 1 и 2 и теглото mg надолу, в координатна система X-Y с начало в топчето. — Чертежът към подусловие А) от решението на задача 2.

Б) От условието за равновесие по двете оси намираме:

по $X$ : $\quad T_2\sin\beta - T_1\sin\alpha = 0$ ; [0.5 т]

по $Y$ : $\quad T_1\cos\alpha + T_2\cos\beta - mg = 0$ [0.5 т]

От двете уравнения намираме:

T_1 = \frac{mg\sin\beta}{\sin\beta\cos\alpha + \cos\beta\sin\alpha} \qquad \textbf{[0.5 т]}

T_2 = \frac{mg\sin\alpha}{\sin\beta\cos\alpha + \cos\beta\sin\alpha} \qquad \textbf{[0.5 т]}

Като вземем предвид конкретните стойности на ъглите, пресмятаме:

T_1 = \frac{2mg}{\sqrt{3}+1} \approx 7{,}3\ \mathrm{N} \qquad \textbf{[0.5 т]}

T_2 = \frac{\sqrt{2}mg}{\sqrt{3}+1} \approx 5{,}2\ \mathrm{N} \qquad \textbf{[0.5 т]}

В) След като нишката 2 е прерязана, топчето започва да се движи по окръжност. Началната му скорост е нула, откъдето следва, че в този момент нормалното му ускорение също е нула. Следователно в началния момент ускорението на топчето е тангенциално – насочено перпендикулярно на нишката.

За чертеж с правилно означени посоки на силите и на ускорението [1.0 т]

От II принцип на Нютон: $m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{T}$ получаваме две уравнения –

в направление на нишката: $\quad mg\cos\alpha - T = 0$ [0.5 т]

Топче на нишка 1, отклонена на ъгъл алфа от вертикалата; опънът T е по нишката нагоре, теглото mg — надолу, а ускорението a е перпендикулярно на нишката. — Чертежът към подусловие В) от решението на задача 2 — веднага след прерязването на нишка 2.

и перпендикулярно на нишката: $\quad ma = mg\sin\alpha$ [0.5 т]

от които намираме:

$a = g\sin\alpha = 5{,}0\ \mathrm{m/s}^2$ [0.5 т]

$T = mg\cos\alpha \approx 8{,}7\ \mathrm{N}$ [0.5 т]

Г) В момента, когато нишката достига вертикално положение, топчето има само нормално ускорение. На фигурата са показани посоките на силите, които действат на топчето в този момент.

За чертеж с правилно означени посоки на ускорението и силите [1.0 т]

От II принцип на Нютон получаваме по посока на нишката:

\frac{mv^2}{l} = T - mg. \qquad \textbf{[0.5 т]}

Топче във вертикално положение на нишка с дължина l; опънът T и ускорението a са насочени нагоре, теглото mg — надолу; пунктирана дъга показва предишното положение при ъгъл алфа. — Чертежът към подусловие Г) от решението на задача 2 — при вертикално положение на нишката.

От закона за запазване на механичната енергия имаме:

\frac{mv^2}{2} = mgh = mgl(1 - \cos\alpha). \qquad \textbf{[0.5 т]}

Така намираме: $\quad 2mg(1 - \cos\alpha) = T - mg$

или: $\quad T = mg(3 - 2\cos\alpha) \approx 12{,}7\ \mathrm{N}$ [0.5 т]

Оригинал в Архива: proletni_2013_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2013_11-12solutions.pdf