Съдържание

НПСФ 2013, Специална тема — Задача 2. Електростатичен (кондензаторен) микрофон

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2013

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · Национално състезание по физика, Хисаря, 16 март 2013 г. · Специална тема · 16 март 2013 г.

Условие

Електростатичният (кондензаторен) микрофон е изобретен през 1916 г. в Bell Labs. И досега се използва широко заради добрите му технически характеристики: слаба честотна зависимост на чувствителността му и нисък шум. Има един недостатък – цената му е висока.
В тази задача моделът е следния. Електрична верига е съставена от последователно свързани идеален източник на напрежение с електродвижещо напрежение $E = 9{,}00\ \mathrm{V}$ , резистор с електрично съпротивление $R = 2{,}00\ \mathrm{G\Omega}$ и плосък кондензатор с капацитет $C_0 = 10{,}0\ \mathrm{pF}$ . Равновесното разстояние между плочите на кондензатора е $d_0$ . Едната плоча на кондензатора е много лека и може да се разтрепти от падаща звукова вълна. Окачването на тази плоча е такова, че възвръщащата сила може да се пренебрегне.

а) Нека заради падащата звукова вълна разстоянието между плочите на кондензатора се мени по закона $d(t) = d_0[1 + \alpha\sin(\omega t)]$ , където $\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}$ е кръговата честота на монохроматичния звук, а $\alpha \ll 1$ . Оказва се, че тогава върху резистора може да се измери променливо напрежение $U_R(t) = U_{R0}\sin(\omega t + \varphi)$ . Получете изрази за $U_{R0}$ и $\varphi$ . [3 т.]

б) Получете приближена формула за $U_R(t)$ , валидна за областта (50 Hz ÷ 20 kHz). [1 т.]

в) Нека падащият върху микрофона звук представлява надлъжна бягаща монохроматична вълна, описвана от уравнението $u(x,t) = u_0\sin(kx - \omega t) = u_0\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}x - \frac{2\pi}{T}t\right)$ , където $u_0$ е амплитудата на трептене на частиците на въздуха, а $\lambda$ и $T$ – съответно дължината и периода на вълната. Ако предположите, че звукът предизвиква разширения и свивания на въздуха, такива, че налягането на въздуха се мени по закона $p(x,t) = p_0 + p_1\sin(kx - \omega t + \psi)$ , намерете израз за $p_1$ . (Приложете втория принцип на динамиката за тънък слой въздух!) [2 т.]

г) Нека подвижната плоча на кондензатора има маса $m = 0{,}500\ \mathrm{g}$ и площ $S = 10{,}0\ \mathrm{cm^2}$ . Нека описваме енергията, пренесена от звука през единица площ за единица време с понятието интензитет $I$ на звука. Той зависи от скоростта $c$ на разпространение на звука, плътността $\rho$ на въздуха, кръговата честота $\omega$ и ампитудата $u_0$ на звука така: $I = \frac{1}{2}\rho c\omega^2 u_0^2$ . Вместо да се мери в единици $\mathrm{W/m^2}$ обаче, интензитетът на звука обикновено се дава в децибели (dB), като $I[\mathrm{dB}] = 10\log_{10}\left(\frac{I[\mathrm{W/m^2}]}{I_0}\right)$ , където $I_0 = 1\cdot10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$ (точно) е така наречения „праг на чуване“. Нека върху микрофона пада звук с интензитет $I = 70{,}0\ \mathrm{dB}$ и честота $\nu = 1{,}00\ \mathrm{kHz}$ . Каква амплитуда $U_0$ на напрежението ще се измери върху резистора? Плътността на въздуха е $\rho = 1{,}20\ \mathrm{kg/m^3}$ . Скоростта на звука във въздуха е $c = 340\ \mathrm{m/s}$ . Приемете, че налягането на въздуха между двете плочи на кондензатора не се променя. Диелектричната проницаемост на вакуума е $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ . [3 т.]

д) Изчислете разстоянието $d_0$ между плочите на кондензатора? [0,5 т.]

е) Изчислете дебелината $h$ на подвижната плоча на кондензатора, ако е направена от сплав с плътност $\rho_{\mathrm{C}} = 5{,}00\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ ? [0,5 т.]

Навсякъде в тази задача ефектите от електростатичното привличане между двете плочи на кондензатора се пренебрегват.

Отговори

Решение

а) Когато разстоянието между плочите на кондензатора се мени по закона $d(t) = d_0[1 + \alpha\sin(\omega t)]$ , (2.1) капацитетът на кондензатора се мени с времето така: $C(t) = \frac{\varepsilon_0 S}{d_0[1 + \alpha\sin(\omega t)]}$ . (2.2) От закона на Ом за цялата верига следва $E = RI(t) + \frac{q(t)}{C(t)}$ . [0.5 т.] (2.3) Нека допуснем, че зарядът върху плочите на кондензатора зависи от времето така: $q(t) = q_0[1 + \beta\sin(\omega t + \delta)]$ . (2.4) Тогава токът е $I(t) = \dot{q}(t) = q_0\beta\omega\cos(\omega t + \delta)$ . (2.5) Замествайки (2.2), (2.4) и (2.5) в (2.3), се получава

E = Rq_0\beta\omega\cos(\omega t + \delta) + \frac{q_0[1 + \beta\sin(\omega t + \delta)]}{\dfrac{\varepsilon_0 S}{d_0[1 + \alpha\sin(\omega t)]}} =

= Rq_0\beta\omega\cos(\omega t + \delta) + \frac{q_0}{C_0}[1 + \beta\sin(\omega t + \delta)][1 + \alpha\sin(\omega t)].

(2.6)
След опростяване, (2.6) изглежда така: $RC_0\beta\omega\cos(\omega t + \delta) + \alpha\sin(\omega t) + \beta\sin(\omega t + \delta) = 0$ . [0.5 т.] (2.7) Последното уравнение може да се преобразува до: $\beta(RC_0\omega\cos\delta + \sin\delta)\cos(\omega t) + (-RC_0\omega\beta\sin\delta + \alpha + \beta\cos\delta)\sin(\omega t) = 0$ . (2.8) (2.8) е изпълнено за всеки момент от времето, само ако множителите пред тригонометричните функции, зависещи от времето, са нули. Следователно, $RC\omega\cos\delta + \sin\delta = 0$ , откъдето $\tan\delta = -RC_0\omega$ [0.5 т.] (2.9), и $-RC_0\omega\beta\sin\delta + \alpha + \beta\cos\delta = 0$ , откъдето $\beta = -\alpha\cos\delta = -\frac{\alpha}{\sqrt{(RC_0\omega)^2 + 1}}$ . [0.5 т.] (2.10) Тогава $U_R(t) = RI(t) = Rq_0\beta\omega\cos(\omega t + \delta) = RC_0E\beta\omega\cos(\omega t + \delta) = \frac{\alpha E}{\sqrt{1 + \frac{1}{(RC_0\omega)^2}}}\sin\left(\omega t + \delta - \frac{\pi}{2}\right)$ . Следователно $U_{R0} = \frac{\alpha E}{\sqrt{1 + \frac{1}{(RC_0\omega)^2}}}$ [0.5 т.], и $\varphi = \delta - \frac{\pi}{2}$ . [0.5 т.]

б) В областта (50 Hz ÷ 20 kHz), $(RC_0\omega)^2 \gg 1$ , следователно $U_R(t) \approx \alpha E\sin(\omega t + \pi) = -\alpha E\sin(\omega t)$ (2.11) [1 т.]

в) Нека разгледаме тънък слой въздух с площ $S$ и дебелина $dx$ . Резултантната сила, която му действа, е $dF(x,t) = Sdp = S\frac{dp}{dx}dx = Skp_1\cos(kx - \omega t + \psi)dx$ . [0.5 т.] Ускорението му е $a(x,t) = -\omega^2 u_0\sin(kx - \omega t)$ . [0.5 т.] От втория принцип на динамиката $dF = dma$ , или $Skp_1dx = \rho Sdx\,\omega^2 u_0$ , откъдето $p_1 = \frac{\rho\omega^2 u_0}{k} = \rho\omega cu_0$ . (2.12) [1 т.]

г) От (2.11) амплитудата на напрежението върху резистора ще бъде $U_0 = \alpha E$ . Подвижната пластина на кондензатора трепти така: $x(t) = \alpha d_0\sin(\omega t)$ . Ускорението $a(t)$ , с което трепти, е $a(t) = -\omega^2\alpha d_0\sin(\omega t)$ . [0.5 т.] Това ускорение е предизвикано от резултантна сила $F(t) = -p_1 S\sin(\omega t)$ . [0.5 т.] Следователно $p_1 S = m\omega^2\alpha d_0$ . Използвайки (2.12), $\alpha = \frac{p_1 S}{m\omega^2 d_0} = \frac{\rho\omega cu_0 S}{m\omega^2 d_0} = \frac{\sqrt{2I\rho c}\,C_0}{\varepsilon_0 m\omega^2}$ . Следователно $U_0 = \frac{\sqrt{2I\rho c}\,C_0 E}{\varepsilon_0 m\omega^2} \approx$ [1 т.] $47\ \mu\mathrm{V}$ . [1 т.]

д) Разстоянието $d_0$ между плочите на кондензатора е $d_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{C_0} \approx 0{,}89\ \mathrm{mm}$ . [0.5 т.]

е) Дебелината $h$ на подвижната плоча на кондензатора е $h = \frac{m}{\rho S} = 0{,}10\ \mathrm{mm}$ . [0.5 т.]

Полезна математика

1. Елипсата е такава крива, че сумата от разстоянията от произволна точка на елипсата до две точки, наречени фокуси на елипсата, е константа. В декартова координатна система с начало в центъра на елипсата и оси, ориентирани по осите на симетрия на елипсата, уравнението на елипсата е $\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$ , където a и b са двете полуоси на елипсата. Интересно “оптично” свойство на елипсата е, че лъч, тръгнал от единия фокус, след “отражение” от елипсата минава през другия фокус на елипсата.

2. Равенството $A\sin x + B\cos x = 0$ е тъждество за всяко x тогава и само тогава, когато $A \equiv 0 \wedge B \equiv 0$ .

3. Радиус ρ на кривината на крива, описвана с уравнението $y(x)$ в точка от кривата с координати $(x_0, y(x_0))$ , е $\rho = \left.\frac{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\left|\frac{d^2y}{dx^2}\right|}\right|_{x=x_0}$ . 4. $(1+x)^n \approx 1 + nx,\ x \ll 1$ .

5. $\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ , $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ , $\cos\alpha = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$ .

6. $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ , $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ .

7. $\frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = ae^{ax}$ , $\frac{d}{dx}[\cos(ax)] = -a\sin(ax)$ , $\frac{d}{dx}[\sin(ax)] = a\cos(ax)$ .

8. $\frac{d}{dx}[f(x).g(x)] = \left[\frac{d}{dx}f(x)\right].g(x) + f(x).\left[\frac{d}{dx}g(x)\right]$ . 9. $\sin\alpha \approx \tan\alpha \approx \alpha,\ \cos\alpha \approx 1,\ \alpha \ll 1$ .

Оригинал в Архива: proletni_2013_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2013_STsolutions.pdf