НПСФ 2013, Специална тема — Задача 2. Електростатичен (кондензаторен) микрофон

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА Национално състезание по физика, Хисаря, 16 март 2013 г. Специална тема · 16 март 2013 г.

Условие

Електростатичният (кондензаторен) микрофон е изобретен през 1916 г. в Bell Labs. И досега се използва широко заради добрите му технически характеристики: слаба честотна зависимост на чувствителността му и нисък шум. Има един недостатък – цената му е висока. В тази задача моделът е следния. Електрична верига е съставена от последователно свързани идеален източник на напрежение с електродвижещо напрежение $E = 9{,}00\ \mathrm{V}$, резистор с електрично съпротивление $R = 2{,}00\ \mathrm{G\Omega}$ и плосък кондензатор с капацитет $C_0 = 10{,}0\ \mathrm{pF}$. Равновесното разстояние между плочите на кондензатора е $d_0$. Едната плоча на кондензатора е много лека и може да се разтрепти от падаща звукова вълна. Окачването на тази плоча е такова, че възвръщащата сила може да се пренебрегне.

а) Нека заради падащата звукова вълна разстоянието между плочите на кондензатора се мени по закона $d(t) = d_0[1 + \alpha\sin(\omega t)]$, където $\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}$ е кръговата честота на монохроматичния звук, а $\alpha \ll 1$. Оказва се, че тогава върху резистора може да се измери променливо напрежение $U_R(t) = U_{R0}\sin(\omega t + \varphi)$. Получете изрази за $U_{R0}$ и $\varphi$. [3 т.]

б) Получете приближена формула за $U_R(t)$, валидна за областта (50 Hz ÷ 20 kHz). [1 т.]

в) Нека падащият върху микрофона звук представлява надлъжна бягаща монохроматична вълна, описвана от уравнението $u(x,t) = u_0\sin(kx - \omega t) = u_0\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}x - \frac{2\pi}{T}t\right)$, където $u_0$ е амплитудата на трептене на частиците на въздуха, а $\lambda$ и $T$ – съответно дължината и периода на вълната. Ако предположите, че звукът предизвиква разширения и свивания на въздуха, такива, че налягането на въздуха се мени по закона $p(x,t) = p_0 + p_1\sin(kx - \omega t + \psi)$, намерете израз за $p_1$. (Приложете втория принцип на динамиката за тънък слой въздух!) [2 т.]

г) Нека подвижната плоча на кондензатора има маса $m = 0{,}500\ \mathrm{g}$ и площ $S = 10{,}0\ \mathrm{cm^2}$. Нека описваме енергията, пренесена от звука през единица площ за единица време с понятието интензитет $I$ на звука. Той зависи от скоростта $c$ на разпространение на звука, плътността $\rho$ на въздуха, кръговата честота $\omega$ и ампитудата $u_0$ на звука така: $I = \frac{1}{2}\rho c\omega^2 u_0^2$. Вместо да се мери в единици $\mathrm{W/m^2}$ обаче, интензитетът на звука обикновено се дава в децибели (dB), като $I[\mathrm{dB}] = 10\log_{10}\left(\frac{I[\mathrm{W/m^2}]}{I_0}\right)$, където $I_0 = 1\cdot10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$ (точно) е така наречения „праг на чуване“. Нека върху микрофона пада звук с интензитет $I = 70{,}0\ \mathrm{dB}$ и честота $\nu = 1{,}00\ \mathrm{kHz}$. Каква амплитуда $U_0$ на напрежението ще се измери върху резистора? Плътността на въздуха е $\rho = 1{,}20\ \mathrm{kg/m^3}$. Скоростта на звука във въздуха е $c = 340\ \mathrm{m/s}$. Приемете, че налягането на въздуха между две плочи на кондензатора не се променя. Диелектричната проницаемост на вакуума е $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\ \mathrm{F/m}$. [3 т.]

д) Изчислете разстоянието $d_0$ между плочите на кондензатора? [0,5 т.]

е) Изчислете дебелината $h$ на подвижната плоча на кондензатора, ако е направена от сплав с плътност $\rho_{\mathrm{C}} = 5{,}00\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}$? [0,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2013_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2013_STsolutions.pdf