Съдържание

НПСФ 2013, Специална тема — Задача 3. Вълнички в басейн

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2013

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · Национално състезание по физика, Хисаря, 16 март 2013 г. · Специална тема · 16 март 2013 г.

Условие

В хубав слънчев ден може да се забележи, че по дъното на басейн се образуват красиви постоянно движещи се светли ивици (петна). Причината за тяхната поява е пречупването на светлината от нагънатата от вълнички водна повърхност. Тук ще се разгледат два частни случая. Басейнът е пълен с вода с показател на пречупване $n = 1{,}33$ . Над него има въздух, чийто показател на пречупване може да се приеме за единица. Дълбочината на басейна е $h = 2{,}00\ \mathrm{m}$ . Нека по повърхността на водата се разпространява една единствена вълна. Да предположим, че тя създава вертикални отклонения на водната повърхност $z(x) = A\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}x - \frac{2\pi}{T}t\right)$ , където $A$ е амплитудата на вълната, а $\lambda$ и $T$ – съответно дължината и периода на вълната, $x$ – хоризонтална координата, $z$ – вертикално отклонение. $\lambda = 20{,}0\ \mathrm{cm}$ . Приемете, че $A \ll \lambda \ll h$ .

а) Първи случай. Изчислете амплитудата $A_1$ на вълната, при която вертикални лъчи, падащи върху двете „плоски“ наклонени страни на един връх на вълната, ще достигат дъното в точка, намираща се точно под същия този връх на вълната. [4 т.]

б) Нека да си представим, че повърхността около върха на вълната може да се апроксимира (приближено да се описва) с цилиндрична повърхност с радиус $R$ . Намерете радиуса $R = f(\lambda, A)$ . [2 т.]

в) Втори случай. Изчислете амплитудата $A_2$ на вълната, при която вертикални лъчи, падащи около и във върха на вълната, ще достигат дъното на басейна в точка, намираща се точно под същия този връх на вълната (т.е. върхът на вълната ще работи като цилиндрична леща с фокус, намиращ се на дъното на басейна). [4 т.]

Схема на вълна на водната повърхност с дължина λ и амплитуда A над басейн с дълбочина h и показател на пречупване n. Ляво: първи случай — вертикални лъчи върху две наклонени страни на връх на вълната се събират в точка на дъното точно под върха. Дясно: втори случай — лъчи около върха на вълната, апроксимиран с цилиндрична повърхност с радиус R, се фокусират в точка на дъното. — Чертежът е само за илюстрация. Отношенията на дадените размери $h,\lambda,A,R$ не са верни! Освен това двата случая не са възможни за една и съща амплитуда $A$ .

Отговори

Решение

а) Наклонът на водната повърхност в произволна точка е равен на производната $\frac{dz}{dx} = A_1\frac{2\pi}{\lambda}\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x - \frac{2\pi}{T}t\right)$ . [0.5 т.] Следователно „плоската“ част на вълната сключва ъгъл $\alpha$ с хоризонталата, равен на $\alpha \approx tg\alpha = \frac{dz}{dx} = \frac{2\pi A_1}{\lambda}$ . [0.5 т.] Това е и ъгълът, който сключва падащият вертикален лъч с нормалата на „плоската“ част на вълната. [0.5 т.] От закона на Снелиус, следва: $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{n}{1} = n \approx \frac{\alpha}{\beta}$ . [0.5 т.] От чертежа може да се намери, че $\frac{\lambda/4}{h} = \tan(\alpha - \beta) \approx \alpha - \beta = \frac{n-1}{n}\alpha = \frac{(n-1)}{n}\frac{2\pi A_1}{\lambda}$ . [0.5 т.] Следователно $A_1 = \frac{1}{8\pi}\,\frac{n}{n-1}\,\frac{\lambda^2}{h}$ [1 т.]. След заместване с дадените стойности, $A_1 \approx 3{,}21\ \mathrm{mm}$ . [0.5 т.]

б) Нека изберем координатната система така, че в някакъв момент от време вълничката да се описва с уравнението $z(x) = A\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right)$ . Първата и втората производни в точката $x = 0$ са съответно $\frac{dz}{dx}(0) = 0$ [0.5 т.] и $\frac{d^2z}{dx^2}(0) = -\frac{4\pi^2}{\lambda^2}A$ . [0.5 т.] Съгласно дадената формула, радиусът на кривината на водната повърхност в тази точка е $R = \frac{\lambda^2}{4\pi^2 A}$ . [1 т.]

в) Използвайки формулата за фокусното разстояние на пречупваща сферична повърхност (или след нейния извод) $\frac{n}{h} = \frac{n-1}{R} = \frac{(n-1)4\pi^2 A_2}{\lambda^2}$ [2 т.], се получава $A_2 = \frac{1}{4\pi^2}\,\frac{n}{n-1}\,\frac{\lambda^2}{h} = \frac{2}{\pi}A_1$ [1 т.] $= 2{,}04\ \mathrm{mm}$ . [1 т.]

Полезна математика

1. Елипсата е такава крива, че сумата от разстоянията от произволна точка на елипсата до две точки, наречени фокуси на елипсата, е константа. В декартова координатна система с начало в центъра на елипсата и оси, ориентирани по осите на симетрия на елипсата, уравнението на елипсата е $\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$ , където a и b са двете полуоси на елипсата. Интересно “оптично” свойство на елипсата е, че лъч, тръгнал от единия фокус, след “отражение” от елипсата минава през другия фокус на елипсата.

2. Равенството $A\sin x + B\cos x = 0$ е тъждество за всяко x тогава и само тогава, когато $A \equiv 0 \wedge B \equiv 0$ .

3. Радиус ρ на кривината на крива, описвана с уравнението $y(x)$ в точка от кривата с координати $(x_0, y(x_0))$ , е $\rho = \left.\frac{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\left|\frac{d^2y}{dx^2}\right|}\right|_{x=x_0}$ . 4. $(1+x)^n \approx 1 + nx,\ x \ll 1$ .

5. $\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ , $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ , $\cos\alpha = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$ .

6. $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ , $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ .

7. $\frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = ae^{ax}$ , $\frac{d}{dx}[\cos(ax)] = -a\sin(ax)$ , $\frac{d}{dx}[\sin(ax)] = a\cos(ax)$ .

8. $\frac{d}{dx}[f(x).g(x)] = \left[\frac{d}{dx}f(x)\right].g(x) + f(x).\left[\frac{d}{dx}g(x)\right]$ . 9. $\sin\alpha \approx \tan\alpha \approx \alpha,\ \cos\alpha \approx 1,\ \alpha \ll 1$ .

Оригинал в Архива: proletni_2013_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2013_STsolutions.pdf