НПСФ 2014, 9. клас — Задача 3. Свободно падане и земно ускорение

Част 1.

Времето от момента на пускане на камъка до момента, в който той се чува да удря дъното на кладенеца, може да се разглежда като сума на две времена:

$t_1$ е времето на падане на камъка до дъното

$t_2$ е времето, необходимо на звука да стигне от дъното на кладенеца до върха му.

$t = t_1 + t_2$, т.е. $t_2 = t - t_1$.

Първо разглеждаме свободното падане на камъка. Времето на падане се определя от формулата

$h = \dfrac{gt_1^2}{2}$. [0,5 точки]

Второто движение е това на звука. То е равномерно и се определя по формулата

$h = v_St_2 = v_S(t - t_1)$. [0,5 точки]

Това води до уравнението

$\dfrac{gt_1^2}{2} = v_S(t - t_1)$, което след преобразуване може да се представи като

$gt_1^2 + 2v_St_1 - 2v_St = 0$. [0,5 точки]

Това уравнение има две решения,

$t_1^{1,2} = \dfrac{-v_S \pm \sqrt{v_S^2 + 2gtv_S}}{g}$, от които очевидно едното е с отрицателна стойност и няма физичен смисъл. [0,5 точки]

Второто решение е $t_1^{2} = \dfrac{-v_S + \sqrt{v_S^2 + 2gtv_S}}{g} = 2{,}88\ \mathrm{s}$. [0,5 точки]

За него намираме $h = \dfrac{gt_1^2}{2} = 40{,}6\ \mathrm{m}$. [0,5 точки]

Алтернативно решение

Времето от момента на пускане на камъка до момента, в който той се чува да удря дъното на кладенеца, може да се разглежда като сума на две времена:

t₁ е времето на падане на камъка до дъното

t₂ е времето, необходимо на звука да стигне от дъното на кладенеца до върха му.

Времето на разпространение на звука може да се пренебрегне, тъй като е много малко в сравнение с времето на падане на камъка. [1 точка]

$h = \dfrac{gt_1^2}{2} = 44{,}1\ \mathrm{m}$. [1 точка]

Звукът изминава това разстояние за $t_2 = \dfrac{h}{v_S} = 0{,}13\ \mathrm{s}$. [0,5 точки]

Това време е много по-малко от времето на падане на камъка и може да се пренебрегне, защото грешката при измерването би била от същия порядък, ако то се извършва по не особено прецизен начин, например с ръчно управляван секундомер или ако се вземе предвид, че земното ускорение варира в зависимост от местоположението и географската ширина. [0,5 точки]

Част 2.

а) На повърхността на Земята

$g_E(R_E) = \dfrac{C_E}{R_E^2}$ => $C_\mathrm{E} = g_\mathrm{E}(R_\mathrm{E})R_E^2$ [0,5 точки]

$C_\mathrm{E} = 4{,}02.10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$. [0,5 точки]

б) По същия начин както в подточка а),

$C_M = g_M(R_M)R_M^2 = 0{,}17.9{,}81\ \mathrm{m/s^2}\,.\,2{,}96.\,10^{12}\mathrm{m} = 4{,}8.10^{12}\ \mathrm{m^3/s^2}$. [1 точка]

в) $\dfrac{m_E}{m_M} = \dfrac{C_E}{C_M} = 83{,}8$ [1 точка]

г) Силите на тежестта на Луната и на Земята, които действат на даден обект, се уравновесяват, когато $g_E = g_M$. [0,5 точки]

Разстоянието до Земята е $R'$, а това до Луната е $R - R'$.

$g_E(R') = g_M(R - R')$

$\dfrac{C_E}{R'^2} = \dfrac{C_M}{(R-R')^2}$. [0,5 точки]

След преобразуване

$(C_E - C_M)R'^2 - 2C_ERR' + C_ER^2 = 0$. [0,5 точки]

Това уравнение има две решения,

$R'_{1,2} = \dfrac{C_ER \pm \sqrt{(C_ER)^2 - (C_E-C_M)C_ER^2}}{C_E-C_M} = \dfrac{C_ER \pm \sqrt{C_MC_E}R}{C_E-C_M}$ [0,5 точки]

$R'_1 = 0{,}90R = 3{,}46.10^{5}\ \mathrm{km}$ [0,5 точки]

$R'_2 = 1{,}12R = 4{,}31.10^{5}\ \mathrm{km}$. [0,5 точки]

Второто решение на уравнението се намира „зад“ Луната от гледна точка на Земята. Там силите на тежестта на Луната и на Земята са равни, но действат в една и съща посока, т.е. не се уравновесяват. Физично решение е единствено $R'_1$. [0,5 точки]

Правилен чертеж. [0,5 точки]