Съдържание

НПСФ 2014, Специална тема — Задача 1. Космическа станция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2014

Национално пролетно състезание по физика, Сандански, 15-16.03.2014 — Специална тема · 15 март 2014 г. · 10 т.

Условие

Космическа станция обикаля Земята по кръгова орбита на височина $h$ над земната повърхност. На земята, в равнината на орбитата на станцията, се намира наблюдател, който вижда станцията като малка светла движеща се точка в небето. Поради голямата отдалеченост на станцията в сравнение със собствения й размер, наблюдателят няма зрителна представа за разстоянието до станцията.

В тази задача можете да пренебрегнете околоосното въртене на Земята. Приемете Земята за еднородно кълбо с гладка повърхност. Оптичните аберации на атмосферата се пренебрегват.

Основни данни

Радиус на Земята, $R = 6.37 \times 10^{6}\ \mathrm{m}$

Гравитационно ускорение върху земната повърхност, $g_0 = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$

А) Получете израз за периода $T$ на обикаляне на станцията като функция на $h$ и основните данни. Пресметнете $T$ за Международната космическа станция, която обикаля на височина 423 km над земята. [2,5 т.]

Б) За колко време $t$ наблюдателят ще вижда станцията на небето? Получете израз за $t$ и го пресметнете за Международната космическа станция. [1,5 т.]

Окръжност, представляваща Земята; от точка $O$ на повърхността ѝ излиза стрелка към точка $S$, сключваща ъгъл $\theta$ с пунктирана вертикална права. — Фигурата към подусловие В) на задача 1: наблюдател $O$ на повърхността на Земята и станция $S$ , чийто радиус-вектор сключва ъгъл $\theta$ с вертикалата.

В) Станцията се намира над хоризонта в точка $S$ , чийто радиус-вектор $\overrightarrow{OS}$ спрямо наблюдателя $O$ сключва ъгъл $\theta$ с вертикалата (вж. фигурата). Видимата за наблюдателя скорост, с която станцията се движи на фона на звездното небе е равна на ъгловата скорост $\beta$ , с която се завърта зрителният лъч $\overrightarrow{OS}$ . Получете израз за $\beta$ чрез $T$ , $R$ , $h$ и моментната стойност на $\theta$ . [3,5 т.]

Г) Получете израз за отношението $\beta_z/\beta_h$ на видимата скорост $\beta_z$ на станцията, когато минава през зенита (вертикално над наблюдателя) към видимата й скорост $\beta_h$ в момента, когато се намира на хоризонта. [1,5 т.]

Д) В момента, когато станцията минава през зенита, вертикално над наблюдателя на височина $h_1 = 10$ km прелита и самолет със скорост $v_1 = 300$ m/s. Подобно на станцията, самолетът изглежда като малка движеща се точка. Кой от двата летателни апарата, станцията или самолетът, изглежда че се движи по-бързо? [1 т.]

Отговори

Решение

Основни данни

А) Понеже $g \propto \dfrac{1}{r^2}$ , където $r$ е разстоянието до центъра на Земята, следва:

g = \frac{g_0 R^2}{(R+h)^2}

При движение по кръгова орбита:

\frac{v^2}{R+h} = g

откъдето:

v = R\sqrt{\frac{g_0}{R+h}}

T = \frac{2\pi(R+h)}{v} = \frac{2\pi(R+h)^{3/2}}{R g_0^{1/2}} = 2\pi\sqrt{\frac{R\left(1+\frac{h}{R}\right)^3}{g_o}}

За Международната космическа станция:

T = 5.58 \times 10^{3}\,\mathrm{s}

Б) Наблюдателят вижда тази част от траекторията, която е разположена над равнината на хоризонта. Тя представлява дъга, съответстваща на централен ъгъл:

\phi = 2\arccos\left(\frac{R}{R+h}\right)

Две концентрични окръжности с радиуси $R$ и $R+h$; права, допирателна към вътрешната окръжност, отбелязана като хоризонт, и централен ъгъл $\phi$. — Фигура към решението на подусловие Б) на задача 1: дъгата над равнината на хоризонта, съответстваща на централен ъгъл $\phi$ .

Времето, за което станцията се намира над хоризонта, е съответно:

t = \frac{T\phi}{2\pi} = \frac{2(R+h)^{3/2}}{R g^{1/2}}\arccos\left(\frac{R}{R+h}\right)

За Международната космическа станция получаваме:

t = 630\ \mathrm{s} = 10.5\ \mathrm{min}

В) Ъгловата скорост на станцията може да бъде изразена като:

\beta = \frac{v_\perp}{d}

Окръжност с център $C$ и точка $O$ на повърхността; отсечка $OS$ към станцията $S$, вектор на скоростта $\mathbf{v}$ и означени ъгли $\theta$, $\phi$ и $\theta-\phi$. — Фигура към решението на подусловие В) на задача 1: ъглите $\theta$ , $\phi$ и $\theta-\phi$ и скоростта $\mathbf{v}$ на станцията.

където $d = |OS|$ е разстоянието между наблюдателя и станцията, а $v_\perp$ е компонентата на скоростта, перпендикулярна на зрителния лъч. От фигурата е ясно, че:

v_\perp = v\cos(\theta-\phi) = \frac{2\pi(R+h)\cos(\theta-\phi)}{T}

(R+h)^2 = d^2 + R^2 + 2dR\cos(\theta)

\frac{\sin(\theta-\phi)}{R} = \frac{\sin\theta}{R+h}

След кратки ☺ алгебрични преобразования намираме:

\beta = \frac{2\pi\sqrt{R^2\cos\theta^2 + 2Rh + h^2}}{T\left(\sqrt{R^2\cos\theta^2 + 2Rh + h^2} - R\cos\theta\right)}

Г) В зенита $\theta = 0$ и:

\beta_z = \frac{2\pi(R+h)}{Th}

При пресичането на хоризонта $\theta = \pi/2$ и съответно:

\beta_h = \frac{2\pi}{T}

Следователно:

\frac{\beta_z}{\beta_h} = 1 + \frac{R}{h}

Д) Ъгловата скорост на станцията в зенита е:

\beta_z = \frac{2\pi(R+h)}{Th} = 1.8 \times 10^{-2}\ \mathrm{rad/s}

В същия момент ъгловата скорост на самолета спрямо наблюдателя е:

\beta_1 = \frac{v_1}{h_1} = 3.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{rad/s}

Следователно от земята ще изглежда, че самолетът се движи по-бързо от станцията.

Оригинал в Архива: proletni_2014_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2014_STsolutions.pdf