Съдържание

НПСФ 2014, Специална тема — Задача 2. Лазер на свободни електрони

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2014

Национално пролетно състезание по физика, Сандански, 15-16.03.2014 — Специална тема · 15 март 2014 г. · 10 т.

Условие

Схема: координатни оси $X$, $Y$, $Z$; електрон със скорост $v$ влиза между два реда шахматно оцветени магнитни блокчета на разстояние $d$ един от друг, движи се по синусоида и вдясно излиза лъчение. — Принципно устройство на лазер на свободни електрони: две успоредни редици магнити с алтернативно ориентирани полюси (ондулатор), вълнообразна траектория на електрона и излъчване по оста $X$ .

На фигурата е показано принципното устройство на лазер, който работи със свободни електрони. Сноп електрони, ускорени до висока енергия, попада между две успоредни редици магнити с алтернативно ориентирани полюси – т.нар. ондулатор. Разстоянието между центровете на съседните магнити е $d = 1.0$ cm. Поради магнитните сили, електроните се движат по вълнообразна траектория, излъчвайки електромагнитни вълни. При релативистки скорости на електроните, лъчението е насочено почти изцяло в посоката на оста $X$ .

Фундаментални константи

Скорост на светлината, $c = 3.0\ \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ;

Елементарен заряд, $e = 1.6\ \times 10^{-19}$ C

Маса в покой на електрона, $m = 9.1\ \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ .

Полезна формула: $(1 + \delta)^n \approx 1 + n\delta$ при $|\delta| \ll 1$

А) Траекторията на електроните в ондулатора е синусоида, която лежи в равнината $XY$ :

(1)

y(x) = A\sin(kx + \phi)

където $A, k$ и $\phi$ са съответно амплитудата, вълновият вектор и началната й фаза.

Получете израз за вълновия вектор $k$ и пресметнете числената му стойност. [1 т.]

Б) Електроните навлизат в ондулатора със скорост $v$ . Определете компонентите на ускорението на електроните като функция на $A, d$ и $v$ в точки от траекторията с координати $y = 0$ и $y = +A$ . [2,5 т.]

В) Електроните в ондулатора извършват трептене в направление на оста $Y$ . При амплитуди $A$ , малки в сравнение с разстоянието $d$ между магнитите, периодът на трептенето може да бъде записан приблизително във вида:

(2)

T = T_0\left(1 + \alpha\left(\frac{A}{d}\right)^{2}\right)

където $T_0$ и $\alpha$ са параметри, които зависят само от $d$ и $v$ . Определете $T_0$ и $\alpha$ . [1 т.]

Г) Намерете дължината $\lambda$ на електромагнитната вълна, излъчена в посока на оста $X$ . [1,5 т.]

Д) Можете да приемете, че магнитната индукция в равнината на траекторията е насочена вертикално (по оста $Z$ ) и зависи от координатата $X$ по закона:

(3)

B_z = B_0\sin(kx)

където $B_0$ е амплитудата на магнитната индукция в ондулатора

На колко е равна фазата $\phi$ в уравнението (1) на траекторията? Посочете верния според вас отговор: $\phi = 0$ ; $\pi/2$ ; $\pi$ ; $3\pi/2$ като го обосновете кратко. [0,5 т.]

Е) Получете израз за амплитудата $A$ на траекторията.

Пресметнете $A$ числено за електрони с кинетична енергия $E_k\ =\ 50$ MeV и при амплитуда на магнитната индукция в ондулатора $B_0 = 0.15$ T. [2,5 т.]

Ж) Пресметнете дължината $\lambda$ на вълната, излъчена в посока на оста $X$ при тази енергия на електроните. В кой диапазон на електромагнитния спектър се намира лъчението? [1 т.]

Отговори

Решение

А) Пространственият период на траекторията е равен на разстоянието между два магнита с еднаква полярност, което е $2d$ . От условието:

y(x + 2d) = y(x)

намираме $2kd = 2\pi$ или:

k = \frac{\pi}{d} \approx 314\ m^{-1}

Б) Понеже магнитната сила е насочена перпендикулярно на скоростта на електрона, скоростта му остава постоянна, докато се движи в магнититното поле:

v = \mathrm{const}

Синусоида върху координатни оси; вектор $\mathbf{v}$, допирателен към кривата в точката $y=0$, и вектори $\mathbf{v}$ и $\mathbf{a}$ във върха на синусоидата. — Фигура към решението на подусловие Б) на задача 2: посоките на скоростта $\mathbf{v}$ и на ускорението $\mathbf{a}$ в две точки от синусоидалната траектория.

В точка с координата $y = 0$ скоростта на електрона сключва максимален ъгъл с оста $X$ . Следователно в тази точка електронът има минимална компонента на скоростта по $X$ и максимална – по $Y$ . От условието за екстремум на функция следва:

a_x(0) = \frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = 0 \ \text{и}\ a_y(0) = \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} = 0

В точка с координата $y = +A$ скоростта на електрона е успоредна на оста $X$ . Следователно в тази точка електронът има максимална компонента на скоростта по $X$ и от условието за екстремум получаваме:

a_x(A) = \frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = 0

Компонентата на скоростта по $Y$ е нула, като променя знака си, поради което електронът има ненулево ускорение по $Y$ . За да го определим, диференцираме уравнението на траекторията два пъти по времето:

\dot{y} = kA\cos(kx+\phi)\,\dot{x}

\ddot{y} = -k^2A\sin(kx+\phi)\dot{x}^2 + kA\cos(kx+\phi)\ddot{x} = -k^2y\dot{x}^2 + kA\cos(kx+\phi)\ddot{x}

Понеже в тази точа $y = A, \dot{x} = v$ и $\ddot{x} = a_x = 0$ , следва:

a_y(A) = -k^2Av^2 = -\left(\frac{\pi v}{d}\right)^{2}A

Като алтернативно решение, от условието $v = \mathrm{const}$ следва, че електронът има единствено нормално ускорение $a = Kv^2$ , където $K = 1/R$ е кривината на траекторията. В точката $y = 0$ имаме $K = 0$ и $a = 0$ . В точката $y = +A$ имаме $K = |y''(x)| = k^2A$ , откъдето, като съобразим, че ускорението е насочено в отрицателната посока на оста $y$ , получаваме горния израз за компонентите.

В) Малък участък от траекторията има дължина:

\mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{2}}\ \mathrm{d}x = \sqrt{1 + (kA\cos(kx+\phi))^2}\ \mathrm{d}x

Условието $A \ll d$ е еквивалентно на $kA \ll 1$ . Като използваме приблизителното равенство на Бернули, получаваме:

\mathrm{d}s = \left(1 + \frac{1}{2}(kA\cos(kx+\phi))^2\right)\mathrm{d}x

Пътят, който изминава електронът за един период, е:

s = \int_0^{2d}\left(1 + \frac{1}{2}(kA\cos(kx+\phi))^2\right)\mathrm{d}x = 2d\left(1 + \left(\frac{kA}{2}\right)^{2}\right) = 2d\left(1 + \left(\frac{\pi A}{2d}\right)^{2}\right)

Понеже електронът се движи с постоянна скорост, времето за изминаване на този път е:

T = \frac{s}{v} = \frac{2d}{v}\left(1 + \left(\frac{\pi A}{2d}\right)^{2}\right)

Следователно:

T_0 = \frac{2d}{v}\ \text{и}\ \alpha = \frac{\pi^2}{4}

Г) Дължината на вълната е равна на разстоянието между две вълнови повърхности, излъчени през интервал $T$ една след друга. От момента на излъчването на първата повърхност, тя изминава разстояние:

l = cT

в посока на оста $X$ . За същото време електронът изминава разсточние $2d$ в същата посока. Следователно дължината на вълната е:

\lambda = cT - 2d = 2d\left(\frac{c}{v}-1\right) + \frac{\pi^2A^2}{2d}\frac{c}{v}

Д) На електрона действа магнитна сила $\vec{F} = -e\vec{v}\times\vec{B}$ , където знакът „–“ отчита отрицателния заряд на електрона. На фигурата е показана посоката на магнитната сила, когато електронът минава през върха на траекторията, т.е. когато $x = +A$ . Като приложим правилото на лявата ръка (заради отрицателния заряд на електрона), определяме, че в същата точка магнитната индукция е насочена от нас към чертежа, т.е. $B_z = -B_0$ . Следователно траекторията и магнитната индукция са в противофаза:

\phi = \pi

Синусоида върху координатни оси; във върха ѝ — символ за магнитна индукция, насочена навътре в чертежа, хоризонтален вектор $\mathbf{v}$ и вертикален вектор $\mathbf{F}$, насочен надолу. — Фигура към решението на подусловия Д) и Е) на задача 2: посоките на магнитната индукция $\mathbf{B}$ , скоростта $\mathbf{v}$ и магнитната сила $\mathbf{F}$ във върха на траекторията.

Е) Прилагаме II принцип на механиката за върха на траекторията:

\frac{m}{\sqrt{1-v^2/c^2}}k^2Av^2 = evB_0

откъдето намираме:

A = \frac{eB_0}{mvk^2}\sqrt{1-v^2/c^2}

От релативистката връзка между импулс и енергия имаме:

\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{\sqrt{E^2-(mc^2)^2}}{c}

където $mc^2 = 0.51$ MeV е енергията в покой на електрона, а $E = mc^2 + E_k = 50.5$ MeV е пълната му релативистка енергия. Понеже $E \gg mc^2$ , имаме:

\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \approx \frac{E}{c}

откъдето:

A = \frac{eB_0c}{Ek^2} = 9.0 \times 10^{-6}\mathrm{m}

Ж) Очевидно в израза за периода можем да пренебрегнем събираемото $\alpha\left(\frac{A}{d}\right)^{2} = 2 \times 10^{-6}$ . Тогава за $\lambda$ получаваме приблизителен израз, който преобразуваме, като използваме,че $v \approx c$ :

\lambda = 2d\left(\frac{c}{v}-1\right) = \frac{2dc}{v}\left(1-\frac{v}{c}\right) \approx d\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) = d\left(\frac{mc^2}{E}\right)^{2} = 1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mu\mathrm{m}

Това е лъчение в инфрачервената област на спектъра.

Оригинал в Архива: proletni_2014_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2014_STsolutions.pdf