НПСФ 2014, Специална тема — Задача 2. Лазер на свободни електрони

Национално пролетно състезание по физика, Сандански, 15-16.03.2014 — Специална тема · 15 март 2014 г. · 10 т.

Условие

На фигурата е показано принципното устройство на лазер, който работи със свободни електрони. Сноп електрони, ускорени до висока енергия, попада между две успоредни редици магнити с алтернативно ориентирани полюси – т.нар. ондулатор. Разстоянието между центровете на съседните магнити е $d = 1.0$ cm. Поради магнитните сили, електроните се движат по вълнообразна траектория, излъчвайки електромагнитни вълни. При релативистки скорости на електроните, лъчението е насочено почти изцяло в посоката на оста $X$.

Фундаментални константи

Скорост на светлината, $c = 3.0\ \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$;

Елементарен заряд, $e = 1.6\ \times 10^{-19}$ C

Маса в покой на електрона, $m = 9.1\ \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$.

Полезна формула: $(1 + \delta)^n \approx 1 + n\delta$ при $|\delta| \ll 1$

А) Траекторията на електроните в ондулатора е синусоида, която лежи в равнината $XY$:

(1) $y(x) = A\sin(kx + \phi)$

където $A, k$ и $\phi$ са съответно амплитудата, вълновият вектор и началната й фаза.

Получете израз за вълновия вектор $k$ и пресметнете числената му стойност. [1 т.]

Б) Електроните навлизат в ондулатора със скорост $v$. Определете компонентите на ускорението на електроните като функция на $A, d$ и $v$ в точки от траекторията с координати $y = 0$ и $y = +A$. [2,5 т.]

В) Електроните в ондулатора извършват трептене в направление на оста $Y$. При амплитуди $A$, малки в сравнение с разстоянието $d$ между магнитите, периодът на трептенето може да бъде записан приблизително във вида:

(2) $T = T_0\left(1 + \alpha\left(\frac{A}{d}\right)^{2}\right)$

където $T_0$ и $\alpha$ са параметри, които зависят само от $d$ и $v$. Определете $T_0$ и $\alpha$. [1 т.]

Г) Намерете дължината $\lambda$ на електромагнитната вълна, излъчена в посока на оста $X$. [1,5 т.]

Д) Можете да приемете, че магнитната индукция в равнината на траекторията е насочена вертикално (по оста $Z$) и зависи от координатата $X$ по закона:

(3) $B_z = B_0\sin(kx)$

където $B_0$ е амплитудата на магнитната индукция в ондулатора

На колко е равна фазата $\phi$ в уравнението (1) на траекторията? Посочете верния според вас отговор: $\phi = 0$; $\pi/2$; $\pi$; $3\pi/2$ като го обосновете кратко. [0,5 т.]

Е) Получете израз за амплитудата $A$ на траекторията.

Пресметнете $A$ числено за електрони с кинетична енергия $E_k\ =\ 50$ MeV и при амплитуда на магнитната индукция в ондулатора $B_0 = 0.15$ T. [2,5 т.]

Ж) Пресметнете дължината $\lambda$ на вълната, излъчена в посока на оста $X$ при тази енергия на електроните. В кой диапазон на електромагнитния спектър се намира лъчението? [1 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2014_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2014_STsolutions.pdf