Съдържание

НПСФ 2014, Специална тема — Задача 3. Радиоактивна планета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2014

Национално пролетно състезание по физика, Сандански, 15-16.03.2014 — Специална тема · 15 март 2014 г. · 10 т.

Условие

Кълбовидна планета с радиус $R = 6.4 \times 10^{6}\ \mathrm{m}$ е съставена от вещество с плътност $\rho = 5.5 \times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$ , еднаква в твърдо и в течно състояние. Веществото съдържа малки количества изотопи $^{238}_{92}\mathrm{U}$ и $^{232}_{90}\mathrm{Th}$ , които търпят $\alpha$ -разпадане.* Периодите $T_{1/2}$ на полуразпадане и относителните масови концентрации $c$ на двата изотопа са дадени в таблицата. След първото $\alpha$ -разпадане следва поредица значително по-бързи ядрени разпадания, докато се образуват стабилни изотопи на оловото. Сумарната енергия $E$ , отделена в цялата поредица разпадания на дадено ядро, също е дадена в таблицата.

Изотоп	$T_{1/2}$ ( $10^{9}$ години)	$E$ (MeV)	$c$ (kg изотоп/kg вещество)
$^{238}_{92}\mathrm{U}$	4.5	47.5	$3.1 \times 10^{-8}$
$^{232}_{90}\mathrm{Th}$	14.0	41.8	$1.2 \times 10^{-7}$

Отделената при разпаданията енергия води до загряване на веществото, поради което вътрешността на планетата е разтопена, а само тънка външна обвивка (кора) се намира в твърдо състояние. Топлопроводността на твърдата кора е $k_s = 2.9\ \mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{K}^{-1}$ , а на разтопената вътрешна част $k_m = 38.0\ \mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{K}^{-1}$ .**

Основни константи:

Число на Авогадро, $N_A = 6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}$

Елементарен заряд, $e = 1.60\ \times 10^{-19}$ C

Константа на Стефан-Болцман, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-4}$

*Приемете, че относителните атомни маси на двата изотопа са равни на масовите им числа.

**Топлопроводността $k$ на дадено вещество се дефинира посредством закона на Фурие за преноса на топлина: $Q = -k\frac{dT}{dx}St$ , където $Q$ е количеството топлина, преминало за време $t$ през площ $S$ , перпендикулярна на посоката $x$ , в която се променя температурата $T$ . Знакът минус показва, че топлината се пренася в посока от по-висока към по-ниска температура.

А) Изчислете обемната плътност $q$ (в единици $\mathrm{W/m^3}$ ) на топлинната мощност, отделяща се във веществото поради радиоактивните разпадания. [2 т.]

Б) Планетата няма атмосфера и е разположена далече от всякакви други източници на топлина. Можете да приемете, че повърхността й излъчва като абсолютно черно тяло и температурата на Космоса е 0 K. Пресметнете температурата $T_S$ на повърхността на планетата. [1,5 т.]

В) На малка дълбочина $h$ ( $h \ll R$ ) под повърхността на планетата температурата на твърдата кора се променя приблизително по линеен закон: $T(h) \approx T_S + Ah$ . Получете израз за константата $A$ посредством $q$ и другите известни параметри, и пресметнете числената й стойност. [2,5 т.]

Г) Определете дебелината $d$ на твърдата кора на планетата. Приемете, че температурата на топене на веществото, изграждащо планетата, е $T_\mathrm{m} = 1500$ K. [1 т.]

Д) Температурата $T(r)$ в разтопената вътрешна част зависи от разстоянието $r$ до центъра на планетата по закона: $T(r) = T_C - B(r/R)^2$ . Определете константата $B$ и пресметнете температурата $T_C$ в центъра на планетата. [3 т.]

Отговори

Решение

А) Броят ядра от даден изотоп в единица обем се дава с израза:

N = \frac{N_A c \rho}{M}

където $c$ е масовата концентрация на изотопа, а $M$ – моларната му маса. Понеже броят ядра намалява с времето по закона:

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

където $\lambda = \ln 2\,/T_{1/2}$ е константата на разпадане, намираме броя разпадания за единица време в единица обем:

f = -\frac{dN}{dt} = \frac{\ln 2\ N_A c \rho}{T_{1/2}M}

Следователно отделената топлина за единица време в единица обем, вследствие от разпадането на дадения изотоп, е:

q = fE = \frac{\ln 2\ N_A c \rho E}{T_{1/2}M}

За $^{238}_{92}\mathrm{U}$ ( $M = 0.238$ kg/mol) имаме $q(^{238}\mathrm{U}) = 1.6 \times 10^{-8}\ \mathrm{W/m^3}$ , а за $^{232}_{90}\mathrm{Th}$ ( $M = 0.232$ kg/mol) имаме $q(^{232}\mathrm{Th}) = 1.8 \times 10^{-8}\ \mathrm{W/m^3}$ . Общата плътност на топлинната мощност е:

q = 3.4 \times 10^{-8}\ \mathrm{W/m^3}

Б) Общата мощност, която се отделя в планетата е:

P = \frac{4}{3}\pi R^3 q

Тази мощност се отделя под формата на излъчване от повърхността на планетата:

\sigma T_S^4 \cdot 4\pi R^2 = \frac{4}{3}\pi R^3 q

откъдето намираме:

T_S = \sqrt[4]{\frac{qR}{3\sigma}} = 34\ \mathrm{K}

В) Топлината се пренася към повърхността посредством топлопроводност. От закона на Фурие следва:

\frac{4}{3}\pi R^3 q = k_s\frac{dT}{dh}4\pi R^2 = 4\pi R^2 k_s A

откъдето:

A = \frac{qR}{3k_s} = 0.025\ \mathrm{K/m} = 25\ \mathrm{K/km}

Г) На дълбочина $h = d$ имаме:

T_m = T_S + Ad

Следователно:

d = \frac{T_m - T_S}{A} = 5.86 \times 10^{4}\ \mathrm{m} = 58.6\ \mathrm{km}

Д) На границата между твърдата и течната част, $r = R - d$ , потокът на топлината, идващ от течността, е равен на потока, минаващ през твърдата кора:

k_s\left.\frac{dT}{dh}\right|_{h=d-\epsilon} = k_m\left.\frac{dT}{dh}\right|_{h=d+\epsilon} = -k_m\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=R-d-\epsilon}

Следователно:

k_sA = \frac{2k_mB(R-d)}{R^2}

B = \frac{k_sAR^2}{2k_m(R-d)} = 6.16 \times 10^{3}\ \mathrm{K}

За границата между течността и твърдата кора имаме:

T_m = T_C - B\left(\frac{R-d}{R}\right)^{2}

Окончателно получаваме:

T_C = T_m + B\left(\frac{R-d}{R}\right)^{2} = 7550\ \mathrm{K}

Оригинал в Архива: proletni_2014_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2014_STsolutions.pdf