НПСФ 2014, Специална тема — Задача 3. Радиоактивна планета

Национално пролетно състезание по физика, Сандански, 15-16.03.2014 — Специална тема · 15 март 2014 г. · 10 т.

Условие

Кълбовидна планета с радиус $R = 6.4 \times 10^{6}\ \mathrm{m}$ е съставена от вещество с плътност $\rho = 5.5 \times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$, еднаква в твърдо и в течно състояние. Веществото съдържа малки количества изотопи $^{238}_{92}\mathrm{U}$ и $^{232}_{90}\mathrm{Th}$, които търпят $\alpha$-разпадане.* Периодите $T_{1/2}$ на полуразпадане и относителните масови концентрации $c$ на двата изотопа са дадени в таблицата. След първото $\alpha$-разпадане следва поредица значително по-бързи ядрени разпадания, докато се образуват стабилни изотопи на оловото. Сумарната енергия $E$, отделена в цялата поредица разпадания на дадено ядро, също е дадена в таблицата.

Изотоп	$T_{1/2}$ ($10^{9}$ години)	$E$ (MeV)	$c$ (kg изотоп/kg вещество)
$^{238}_{92}\mathrm{U}$	4.5	47.5	$3.1 \times 10^{-8}$
$^{232}_{90}\mathrm{Th}$	14.0	41.8	$1.2 \times 10^{-7}$

Отделената при разпаданията енергия води до загряване на веществото, поради което вътрешността на планетата е разтопена, а само тънка външна обвивка (кора) се намира в твърдо състояние. Топлопроводността на твърдата кора е $k_s = 2.9\ \mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{K}^{-1}$, а на разтопената вътрешна част $k_m = 38.0\ \mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-1} \cdot \mathrm{K}^{-1}$.**

Основни константи:

Число на Авогадро, $N_A = 6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}$

Елементарен заряд, $e = 1.60\ \times 10^{-19}$ C

Константа на Стефан-Болцман, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-4}$

*Приемете, че относителните атомни маси на двата изотопа са равни на масовите им числа.

**Топлопроводността $k$ на дадено вещество се дефинира посредством закона на Фурие за преноса на топлина: $Q = -k\frac{dT}{dx}St$, където $Q$ е количеството топлина, преминало за време $t$ през площ $S$, перпендикулярна на посоката $x$, в която се променя температурата $T$. Знакът минус показва, че топлината се пренася в посока от по-висока към по-ниска температура.

А) Изчислете обемната плътност $q$ (в единици $\mathrm{W/m^3}$) на топлинната мощност, отделяща се във веществото поради радиоактивните разпадания. [2 т.]

Б) Планетата няма атмосфера и е разположена далече от всякакви други източници на топлина. Можете да приемете, че повърхността й излъчва като абсолютно черно тяло и температурата на Космоса е 0 K. Пресметнете температурата $T_S$ на повърхността на планетата. [1,5 т.]

В) На малка дълбочина $h$ ($h \ll R$) под повърхността на планетата температурата на твърдата кора се променя приблизително по линеен закон: $T(h) \approx T_S + Ah$. Получете израз за константата $A$ посредством $q$ и другите известни параметри, и пресметнете числената й стойност. [2,5 т.]

Г) Определете дебелината $d$ на твърдата кора на планетата. Приемете, че температурата на топене на веществото, изграждащо планетата, е $T_\mathrm{m} = 1500$ K. [1 т.]

Д) Температурата $T(r)$ в разтопената вътрешна част зависи от разстоянието $r$ до центъра на планетата по закона: $T(r) = T_C - B(r/R)^2$. Определете константата $B$ и пресметнете температурата $T_C$ в центъра на планетата. [3 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2014_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2014_STsolutions.pdf