Съдържание

НПСФ 2015, 9. клас — Задача 3. Кондензатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2015

Национално пролетно състезание по физика – Варна, 7 март 2015 г. Тема за 9. клас · 7 март 2015 г. · 10 т.

Условие

Два плоски кондензатора C1, U1 и C2, U2. Горните плочи (и двете означени с +) са свързани с проводник, долните плочи (и двете означени с −) също. Стрелките показват посоката на протичащите заряди. — Фиг. 3 а

Същите два кондензатора C1, U1 и C2, U2, но свързани обратно: горната плоча на първия (+) е свързана с горната плоча на втория (−), а долната плоча на първия (−) — с долната плоча на втория (+). — Фиг. 3 б

а) Плосък кондензатор се състои от две пластини с площи $S$ , поставени на разстояние $d$ една от друга. Пластините се зареждат с еднакви по големина, но разноименни заряди, така че в пространството между тях се създава електрично поле $E$ . Намерете електричната енергия на кондензатора. Намерете плътността на енергията (енергията за единица обем), като имате предвид, че енергията е поместена изцяло в обема на кондензатора. [2,5 т.]

б) Нека разгледаме два кондензатора с капацитети $C_1 = 1\ \mu\mathrm{F}$ и $C_2 = 2\ \mu\mathrm{F}$ , които зареждаме съответно до напрежения $U_1 = 1\ \mathrm{V}$ и $U_2 = 0.25\ \mathrm{V}$ . В даден момент кондензаторите се свързват, както е показано на фиг. 3 а и на фиг. 3 б. Намерете заряда и напрежението на всеки един кондензатор след свързването им за всеки един от двата случая. [4 т.]

в) Намерете енергията, която ще се загуби в процеса на свързване за двата случая, изобразени на фиг. 3 а и на фиг. 3 б. При какво условие свързването на кондензаторите няма да промени енергията на системата за случая от фиг. 3 а? [3,5 т.]

Отговори

Решение

а) Енергията на кондензатор с капацитет $C$ и напрежение $U$ се дава с израза

W = \frac{CU^2}{2}. \quad \textbf{[0.5т]}

Капацитетът на кондензатора е

C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}, \quad \textbf{[0.25т]}

а напрежението му е

U = Ed. \quad \textbf{[0.25т]}

За енергията получаваме

W = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}Sd. \quad \textbf{[1т]}

За плътността на енергията имаме $w = \dfrac{W}{V}$ , където $V$ е обемът, заграден от плочите на кондензатора, $V = Sd$ . Получаваме

w = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}. \quad \textbf{[0.5т]}

б) Зарядите на кондензаторите са $q_1 = C_1U_1$ и $q_2 = C_2U_2$ [0.5т], като по условие имаме $q_1 > q_2$ . Зарядът в електродите на получения кондензатор е $q$ и $-q$ , като $q = q_1 + q_2$ [0.5т] за случая от фиг. 3а и $q = q_1 - q_2$ за случая от фиг. 3б [0.5т]. При свързването $q$ се разпределя между кондензаторите, като $q = q_1' + q_2'$ , където $q_1'$ и $q_2'$ са зарядите на кондензаторите след свързването. Зарядът се разпределя така, че напрежението $U'$ на кондензаторите да е равно. Това налага условието

U' = \frac{q_1'}{C_1} = \frac{q_2'}{C_2}. \quad \textbf{[0.5т]}

Така получаваме

q_1' = C_1\frac{C_1U_1 + C_2U_2}{C_1+C_2} = 0{.}5\ \mu C, \quad q_2' = C_2\frac{C_1U_1 + C_2U_2}{C_1+C_2} = 1\ \mu C \ \text{за фиг. 3а;} \quad \textbf{[0.5т]}

q_1' = C_1\frac{C_1U_1 - C_2U_2}{C_1+C_2} \approx 0{.}17\ \mu C, \quad q_2' = C_2\frac{C_1U_1 - C_2U_2}{C_1+C_2} \approx 0{.}33\ \mu C \ \text{за фиг. 3б.} \quad \textbf{[0.5т]}

За напрежението получаваме

U' = \frac{C_1U_1 + C_2U_2}{C_1+C_2} = 0{.}5\ \text{V за фиг. 3а;} \quad \textbf{[0.5т]}

U' = \frac{C_1U_1 - C_2U_2}{C_1+C_2} \approx 0{.}17\ \text{V за фиг. 3б.} \quad \textbf{[0.5т]}

в) Енергията, която се губи при свързване, е $\Delta W = W_1 - W_2$ , където $W_1$ е началната енергия на системата от двата кондензатора, а $W_2$ е крайната. Имаме

W_1 = \frac{C_1U_1^2}{2} + \frac{C_2U_2^2}{2} \quad \textbf{[0.25т]}

и $W_2 = \dfrac{1}{2}(C_1+C_2)U'^2$ , т.е.

W_2 = \frac{(C_1U_1 + C_2U_2)^2}{2(C_1+C_2)} \ \text{за фиг. 3а;} \quad \textbf{[0.5т]}

W_2 = \frac{(C_1U_1 - C_2U_2)^2}{2(C_1+C_2)} \ \text{за фиг. 3б.} \quad \textbf{[0.5т]}

Така получаваме

\Delta W = \frac{C_1C_2}{2(C_1+C_2)}(U_1 - U_2)^2 \approx 0{.}19\ \mu J \ \text{за фиг. 3а;} \quad \textbf{[1т]}

\Delta W = \frac{C_1C_2}{2(C_1+C_2)}(U_1 + U_2)^2 \approx 0{.}52\ \mu J \ \text{за фиг. 3б.} \quad \textbf{[1т]}

Условието, при което енергията на системата от фиг. 3а няма да се промени при свързване, е

U_1 = U_2. \quad \textbf{[0.25т]}

Оригинал в Архива: proletni_2015_9problems.pdf · официални решения: proletni_2015_9solutions.pdf