НПСФ 2015, Специална тема — Задача 3. Две независими подзадачи

Национално пролетно състезание по физика, 7 март 2015 г. — Специална тема · 7 март 2015 г. · 10 т.

Условие

Задачата се състои от две независими подзадачи.

А. а) А. Плазмена честота.

В среди, съдържащи свободни електрони (например газова плазма, метали), се наблюдават свободни трептения на тези електрони при честота $\nu_{\mathrm{pl}}$, наречена електронна плазмена честота. Тя е важна характеристика на такива среди, защото те напълно отразяват електромагнитните вълни с честота $\nu < \nu_{\mathrm{pl}}$ и са прозрачни за (могат да се разпространяват в тях) електромагнитни вълни с честота $\nu > \nu_{\mathrm{pl}}$.

Разгледайте следния модел: електронеутрален слой със сечение квадрат с ръб $L$ и дебелина $l$ ($l \ll L$) е запълнен с равномерно разпределени неподвижни положителни заряди и свободни електрони с концентрация $n$. Зарядът на електрона е $e$, а масата му е $m_{\mathrm{e}}$. Намерете плазмената честота $\nu_{\mathrm{pl}}$ като честотата на хармонични трептения на облакът-слой от свободни електрони, отклонен леко в посока на размера $l$ спрямо неподвижния положително зареден слой. [3 т.]

А. б) Изчислете критичната дължина на вълната $\lambda_{\mathrm{кр}}$, за която електромагнитни вълни с дължина на вълната $\lambda > \lambda_{\mathrm{кр}}$ се отразяват от йоносферата на Земята (с такива вълни са се осъществили първите междуконтинентални радиовръзки). Максималната концентрация на свободни електрони в йоносферата е $n$ = 10$^6$ cm$^{-3}$. Зарядът на електрона е $e$ = 1,60.10$^{-19}$ C, а масата му е $m_e$ = 9,11.10$^{-31}$ kg. Диелектричната проницаемост на вакуума е $\varepsilon_0$ = 8,85.10$^{-12}$ F/m. Скоростта на светлината във вакуум е $c$ = 3,00.10$^8$ m/s. [1 т.]

А. в) Изчислете минималната енергия $E_{\min}$ (в eV) на фотони, за които металът алуминий е прозрачен. Плътността на алуминия е $\rho$ = 2,70.10$^3$ kg/m$^3$, а атомната му маса е $A$ = 27,0. Приемете, че йоните алуминий в кристалната решетка имат заряд $q_{\mathrm{Al}}$ = +3$e$. Константата на Планк е $h$ = 6,63.10$^{-34}$ J.s, а единицата за атомна маса е $u$ = 1,66.10$^{-27}$ kg. [1 т.]

Б. а) Б. Нютонови пръстени.

Плоскоизпъкнала стъклена сферична леща (с радиус на кривината на сферичната повърхност $R$ = 20 m) е допряна с изпъкналата си стена до плоскопаралелна стъклена пластинка (плоската стена на лещата е успоредна на пластинката). Показателят на пречупване на стъклото е $n_{\mathrm{ст}}$ = 1,500, а на въздуха $n_{\mathrm{в}}$ = 1,000. Диаметърът на лещата е $D$ = 10,0 cm. Лещата е осветена с успореден сноп квазимонохроматична светлина, падащ вертикално, перпендикулярно на плоската й стена. Източникът на светлина е газоразрядна лампа, чийто стъклен балон е пълен с натриеви пари при ниско налягане. Може да се приеме, че спектърът на излъчената от лампата светлина съдържа две еднакви по интензивност и много близки по дължина на вълната спектрални линии с дължини на вълната съответно $\lambda_{\mathrm{ср}} - \frac{\Delta\lambda}{2}$ и $\lambda_{\mathrm{ср}} + \frac{\Delta\lambda}{2}$ ($\Delta\lambda \ll \lambda_{\mathrm{ср}}$). В обратно (вертикално) отразената светлина се наблюдават концентрични светли и тъмни пръстени (Нютонови пръстени), резултат от двулъчевата интерференция на отразените от долната стена на лещата и от горната стена на пластинката лъчи. Получете формула за радиуса $r_{\mathrm{k}}$ на k-тия светъл пръстен. [2 т.]

Б. б) С помощта на прецизен механизъм лещата започва да се премества бавно вертикално, отдалечавайки се от лещата. Наблюдава се „придвижване“ на Нютоновите пръстени към центъра на лещата и „изчезването“ им там. Измерено е, че „изчезват“ $N$ = 300 светли пръстена при преместването на лещата на разстояние $d$ = 88,4 µm. Изчислете $\lambda_{\mathrm{ср}}$. [1 т.]

Б. в) Също така се забелязва, че при отдалечаването на лещата контрастът на интерференчната картина първоначално намалява, после отново се усилва, отново намалява, отново се усилва и т.н. Измерено е, че преместването на лещата между две съседни положения с минимален контраст е $L$ = 289,4 µm. Изчислете $\Delta\lambda$. [2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2015_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2015_STsolutions.pdf