НПСФ 2016, 10. клас — Задача 1. Електростатика

• а) $T = \frac{kQ^2}{l^2} - \frac{\sqrt{3}kq^2}{9l^2}$
• б) $U = \frac{4kQ}{l} + \frac{4\sqrt{3}kq}{3l}$
• в) $E \approx \frac{2k(q+Q)}{d^2}$

а) Системата е симетрична спрямо вертикалната права, минаваща през средните заряди, и хоризонталната права, минаваща през крайните два заряда. Търсената сила на опън означаваме с $T$. Силата на опън на останалите четири нишки е с една и съща големина $T'$. [0,5 т.] От условието за равновесие на системата следват две независими уравнения, които свързват големините на силите на опън с големините на Кулоновите сили, които действат на зарядите. На левия заряд действат две сили на опън с големина $T'$, които сключват ъгъл $60°$ помежду си, както е показано на фиг. 1. Тяхната геометрична сума е вектор, насочен хоризонтално надясно, с големина $\sqrt{3}T'$, което може да се получи, като се използва Питагоровата теорема. [0,5 т.] По аналогичен начин векторната сума на силите, с които горният и долният заряди действат на левия заряд, дава сила с големина $\frac{\sqrt{3}kqQ}{l^2}$, насочена хоризонтално наляво. [1 т.] На левия заряд действа също така и десният заряд със сила с големина $\frac{kq^2}{3l^2}$, насочена хоризонтално наляво. [0,5 т.] За получаване на тази сила използваме, че разстоянието между крайните заряди е $2\sqrt{l^2 - l^2/4} = \sqrt{3}l$. [0,5 т.] От условието за равновесие на левия заряд имаме, че $\frac{kq^2}{3l^2} + \frac{\sqrt{3}kqQ}{l^2} = \sqrt{3}T'$. [0,5 т.]

На горния заряд действа силата на опън на централната нишка с големина $T$, насочена вертикално надолу, и две сили на опън с големина $T'$, които сключват ъгъл $120°$ помежду си, както е показано на фиг. 1. Тяхната геометрична сума е вектор, насочен вертикално надолу, с големина $T'$. [0,5 т.] По аналогичен начин векторната сума на силите, с които левият и десният заряди действат на горния заряд, дава сила с големина $\frac{kqQ}{l^2}$, насочена вертикално нагоре. [1 т.] На горния заряд действа също така и долният заряд със сила с големина $\frac{kQ^2}{l^2}$, насочена вертикално нагоре. [0,5 т.] От условието за равновесие на горния заряд следва, че $\frac{kQ^2}{l^2} + \frac{kqQ}{l^2} = T + T'$. [0,5 т.] Като изразим $T'$ от уравнението, което дава условието за равновесие на левия заряд, и го заместим в последното уравнение, получаваме $T = \frac{kQ^2}{l^2} - \frac{\sqrt{3}kq^2}{9l^2}$. [1 т.]

б) Потенциалът в средата на централната нишка е алгебрична сума от потенциалите на четирите заряда в тази точка: $U = \frac{4kQ}{l} + \frac{4\sqrt{3}kq}{3l}$. [2 т.]

в) Интензитетът на много голямо разстояние от центъра на системата от заряди ще приеме вида на интензитета, създаван от един заряд с големина, равна на сумата от големините на зарядите на системата, т.е. $E \approx \frac{2k(q+Q)}{d^2}$. [1 т.]