Съдържание

НПСФ 2016, 11–12 клас — Задача 1. Механика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2016

Национално пролетно състезание по физика 2016, Тема за 11-12. клас · 12 март 2016 г. · 10 т.

Условие

Правоъгълен клин върху хоризонтална равнина; на дългата и на късата му стена лежи по едно телце с маса m, върхът е с прав ъгъл. — Фиг. 1 а — клин с маса $M$ и ъгли $\alpha$ и $\beta$ при основата; върху двете му гладки стени са поставени две тела с маса $m$ .

Същият клин, но само с едно телце с маса m върху дългата стена, на височина H над основата. — Фиг. 1 б — само едно тяло с маса $m$ , поставено на височина $H$ върху наклонената стена на клина.

Клин с маса $M$ и с форма на правоъгълен триъгълник е поставен върху равнина, както е показано на фиг. 1 а и б. Всички повърхности по-долу са гладки, т.е. отсъства сила на триене.

а) Клинът се захваща неподвижно за равнината. Две малки тела с маси $m$ са поставени неподвижно върху клина, при което започват да се пързалят по него (фиг. 1 а). Определете нормалната сила $N$ , с която системата от трите тела действа върху равнината. [3 т.]

б) Клинът вече може да се движи свободно без триене по равнината. Определете ускорението $a$ , с което се движи той, докато телата се пързалят по него. [3т] Намерете силата $N$ , с която системата от трите тела действа върху равнината. [4 т.]

в) Нека в началото е поставено неподвижно само едно тяло с маса $m$ на височина $H$ (фиг. 1 б). Намерете скоростите на тялото и клина в момента, когато тялото достига основата на клина. Намерете числен резултат за стойностите $g = 10\,\mathrm{m/s^2}$ , $H = 3\,\mathrm{m}$ , $\alpha = 45^\circ$ , $m = 1\,\mathrm{kg}$ , $M = 2\,\mathrm{kg}$ . Приемете, че малкото тяло е с пренебрежими размери. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Работим в инерциална отправна система, т.е. разглеждаме силите в координатна система, която е неподвижна спрямо хоризонталната равнина. Налице са следните сили: върху телата действат реакциите на опората $N_1$ и $N_2$ и силите на тежестта $G$ (изобразени на фиг. 1 а). Имаме

Клинът с двете телца, с изчертани вектори N1, N2 и G и техните проекции по хоризонталната и вертикалната ос. — Фиг. 1 а от решението — реакциите на опората $N_1$ и $N_2$ и силите на тежестта $G$ , разложени по осите $x$ и $y$ .

N_1 = mg\cos\alpha,\qquad N_2 = mg\cos\beta.\qquad \textbf{[1т]}

За компонентите по вертикалната ос намираме

N_{1y} = mg\cos^2\alpha,\qquad N_{2y} = mg\cos^2\beta.\qquad \textbf{[1т]}

Така за пълната сила намираме

N = mg\left(\cos^2\alpha+\cos^2\beta\right)+Mg = \left(m+M\right)g,\qquad \textbf{[1т]}

където сме отчели, че $\alpha+\beta = \dfrac{\pi}{2}$ .

б) Клинът вече може да се движи свободно без триене по равнината. Приемаме, че се движи с ускорение $a$ надясно. Върху клина действат реакциите на опората от страна на телата (3-ти принцип на Нютон), както и силите на тежестта. Следват динамичните уравнения, разложени по координатните оси. За лявото тяло (маса $m$ ):

-N_1\sin\alpha = ma_{1x},\qquad N_1\cos\alpha - mg = ma_{1y}.\qquad \textbf{[0.5т]}

За дясно тяло (маса $m$ ):

N_2\sin\beta = ma_{2x},\qquad N_2\cos\beta - mg = ma_{2y}.\qquad \textbf{[0.5т]}

За клина (маса $M$ ):

N_1\sin\alpha - N_2\sin\beta = Ma.

Телата се движат успоредно на повърхността на клина и затова векторите на ускоренията $\vec{a}_1-\vec{a}$ и $\vec{a}_2-\vec{a}$ също сочат успоредно на тези повърхности. Така за компонентите на $a_1$ и $a_2$ намираме

\frac{a_{1y}}{a_{1x}-a} = \tan\alpha,\qquad \frac{a_{2y}}{a_{2x}-a} = -\tan\beta.\qquad \textbf{[1т]}

Изразяваме всяка от компонентите от динамичните уравнения и ги заместваме в горните две уравнения:

\frac{N_1}{m} = g\cos\alpha - a\sin\alpha,\qquad \frac{N_2}{m} = g\cos\beta + a\sin\beta.

Заместваме получените изрази в уравнението за клина, при което получаваме

m\left[g(\sin\alpha\cos\alpha - \sin\beta\cos\beta) - a(\sin^2\alpha+\sin^2\beta)\right] = Ma.

Налагаме условието $\alpha+\beta = \dfrac{\pi}{2}$ , при което получаваме

\left(m+M\right)a = 0.

Така намираме ускорението на клина

a = 0.\qquad \textbf{[1т]}

Тъй като $a = 0$ , за силата, с която телата действат на равнината, отново получаваме

N = \left(m+M\right)g.\qquad \textbf{[1т]}

в) Запазват се механичната енергия и импулса на системата по $x$ :

mgH = \frac{mv_1^2}{2}+\frac{Mv^2}{2},\qquad mv_{1x}+Mv = 0.\qquad \textbf{[1т]}

Имаме и връзките

\frac{v_{1y}}{v_{1x}-v} = \tan\alpha,\qquad v_{1x}^2+v_{1y}^2 = v_1^2.\qquad \textbf{[1т]}

Намираме

2gH = v_{1x}^2+v_{1y}^2+\frac{M}{m}v^2,\qquad v_{1x} = -\frac{M}{m}v,\qquad v_{1y} = -v\left(1+\frac{M}{m}\right)\tan\alpha.

Така получаваме

v = \sqrt{\frac{2gH}{\dfrac{M}{m}+\left(\dfrac{M}{m}\right)^2+\left(1+\dfrac{M}{m}\right)^2\tan^2\alpha}}\qquad \textbf{[0.4т]}

v_1 = \sqrt{2gH-\frac{M}{m}v^2} = \sqrt{2gH\left(1-\frac{1}{1+\dfrac{M}{m}+\dfrac{m}{M}\left(1+\dfrac{M}{m}\right)^2\tan^2\alpha}\right)}.\qquad \textbf{[0.4т]}

За съответните стойности намираме $v = 2\ \mathrm{m/s}$ [0.1т] и $v_1 = 2\sqrt{13}\ \mathrm{m/s} \approx 7.21\ \mathrm{m/s}$ . [0.1т]

Оригинал в Архива: proletni_2016_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2016_11-12solutions.pdf