Съдържание

Условие Отговори Решение

НПСФ 2016, 11–12 клас — Задача 2. Флуиди

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2016

Национално пролетно състезание по физика 2016, Тема за 11-12. клас · 12 март 2016 г. · 10 т.

Условие

Правоъгълен съд с вертикална ос y, водно ниво с площ S на височина H и малък отвор S0 на дъното. — Фиг. 2 а — правоъгълен съд с площ на напречното сечение $S$ , вода до височина $H$ и отвор с площ $S_0$ на дъното.

Осесиметричен съд с профил, подобен на парабола, с отвор на дъното между точките с координати минус x0, y0 и x0, y0. — Фиг. 2 б — съд с ротационна форма; краищата на отвора на дъното са в точките $(-x_0,y_0)$ и $(x_0,y_0)$ .

Схема на сграда: хоризонтална стрелка за вятъра над покрива, оцветен покрив с площ S и маса m, вътрешно налягане P0. — Фиг. 2 в — сграда с покрив с площ $S$ и маса $m$ ; вътре е налягането $P_0$ , а над покрива духа вятър със скорост $\mathrm{v}$ .

а) В правоъгълен съд с площ $S$ е налята вода до височина $H$ , както е показано на фиг. 2 а. Водата изтича през дупчица с площ $S_0$ , намираща се на дъното на съда. Нека с $v_\mathrm{y}$ означим скоростта, с която спада нивото на водата, а с $v_0$ – скоростта на водната струя, изтичаща през дупчицата. Намерете $v_\mathrm{y}$ и $v_0$ като функция на нивото на водата $y$ . [3 т.]

б) В съд с ротационна форма е налята вода, която изтича през дупка на дъното на съда (фиг. 2б). Дупката е симетрична, като краищата ѝ са с координати $(-x_0,y_0)$ и $(x_0,y_0)$ . Формата на съда е такава, че нивото на водата $y$ спада равномерно с времето. Следователно тази система може да се използва за измерване на времето. Намерете формата на съда $y = f(x)$ . [4т]

Упътване за а) и б): Водата да се разгледа като течност с пренебрежим вискозитет. [4 т.]

в) На фиг. 2 в е показана сграда, която е изложена на вятър със скорост $v$ . Пресметнете минималната скорост $v_0$ , при която вятърът ще отдели покрива от сградата. Максималната допустима сила на опън на конструкцията, поддържаща покрива, е $F_0$ , площта и масата на покрива са съответно $S$ и $m$ , а плътността на въздуха е $\rho$ . [3 т.]

Отговори

Решение

а) Прилагаме закона на Бернули за точка от водната повърхност с височина $y$ и за точка от дъното с височина 0:

P_0+\rho gy+\frac{\rho v_\mathrm{y}^2}{2} = P_0+\frac{\rho v_0^2}{2}\qquad \textbf{[1т]}.

В опростен вид изразът приема вида: $2gy+v_\mathrm{y}^2 = v_0^2$ . В сила е и принципът за непрекъснатостта:

v_\mathrm{y}S = v_0S_0\qquad \textbf{[1т]}.

От последните две уравнения получаваме:

v_\mathrm{y} = S_0\sqrt{\frac{2gy}{S^2-S_0^2}}\ \ \textbf{[0.5т]}\quad\text{и}\quad v_0 = S\sqrt{\frac{2gy}{S^2-S_0^2}}\ \ \textbf{[0.5т]}.

б) Отново прилагаме закона на Бернули между повърхността и дъното:

P_0+\rho gy+\frac{\rho v_\mathrm{y}^2}{2} = P_0+\rho gy_0+\frac{\rho v_0^2}{2}\qquad \textbf{[1т]}.

В опростен вид изразът има вида: $2g(y-y_0)+v_\mathrm{y}^2 = v_0^2$ . Прилагаме и принципа за непрекъснатостта:

v_\mathrm{y}\pi x^2 = v_0\pi x_0^2\qquad \textbf{[1т]},

където сме използвали формулата за площ на кръг. Така намираме

v_\mathrm{y}^2 = 2g\,\frac{y-y_0}{x^4-x_0^4}\,x_0^4\qquad \textbf{[1т]}.

Налагаме условието за постоянна скорост, откъдето намираме формата на съда:

y = y_0-\frac{v_\mathrm{y}^2}{2g}+\frac{v_\mathrm{y}^2}{2g}\frac{x^4}{x_0^4}\qquad \textbf{[1т]}.

в) На покрива действат следните сили: тежестта $mg$ (посока надолу), натиск от страна на въздуха над покрива $P_1S$ (надолу) и натиск от страна на въздуха под покрива $P_0S$ (нагоре). Максимално допустимият дисбаланс между тези сили, такъв че покривът да не се отдели от сградата, се компенсира от силата на опън $F_0$ (надолу). Получаваме следното уравнение

P_1S-P_0S+mg+F_0 = 0.\qquad \textbf{[1т]}

В сила е уравнението на Бернули, свързващо налягането в сградата с налягането непосредствено над покрива (токовата линия „влиза“ в сградата):

P_0 = P_1+\frac{\rho v_0^2}{2},\qquad \textbf{[1т]}

където $v_0$ е търсената минимална скорост. Така намираме

v_0 = \sqrt{\frac{2(mg+F_0)}{\rho S}}.\qquad \textbf{[1т]}

Оригинал в Архива: proletni_2016_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2016_11-12solutions.pdf