Съдържание

НПСФ 2016, 11–12 клас — Задача 3. Оптика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2016

Национално пролетно състезание по физика 2016, Тема за 11-12. клас · 12 март 2016 г. · 10 т.

Условие

Две схеми: горе — начупен лъч, минаващ през няколко успоредни слоя със входен ъгъл алфа 1 и изходен ъгъл алфа N; долу — лъч през плоскопаралелна пластинка с дебелина d и странично отместване делта x. — Фиг. 3 — а) лъч, преминаващ последователно през среди с показатели на пречупване $n_1, n_2, \ldots, n_N$ с успоредни граници; б) лъч, падащ под ъгъл $\alpha$ върху плоскопаралелна пластинка с дебелина $d$ и отместване $\Delta x$ .

Част А, а) Част А

Светлинен лъч преминава последователно през среди с различни показатели на пречупване $n_1, n_2, \ldots, n_N$ , както е показано на фиг. 3 а). Границите на средите, $N$ -1 на брой, са успоредни една на друга. Намерете изходния ъгъл $\alpha_N$ при даден входен ъгъл $\alpha_1$ . [1 т.]

Част А, б) Лъч пада под ъгъл $\alpha$ върху плоско-паралелна пластинка с дебелина $d$ . Показателите на пречупване на средите са показани на фиг. 3 б). Намерете отместването на лъча $\Delta x$ . Намерете числен резултат за стойностите $\alpha = 45^\circ$ , $n_1 = 1$ , $n_2 = 1.5$ , $d = 1$ см. [3 т.]

Част Б, а) Част Б

Фотоапарат има прост обектив, който се състои от една леща с фокусно разстояние $f = 1$ см и диаметър $d = 1$ см. Сензорът, върху който се проектира изображението от обектива, представлява квадрат със страна $L = 20$ mm.

Апаратът е фокусирал обект на разстояние $a = 1$ m. Намерете зрителното поле $\phi$ на фотоапарата. Зрително поле е максималният ъглов диаметър, който може да се заснеме с дадения фотоапарат. [2 т.]

Част Б, б) Фотографът насочва фотоапарата към Слънцето и го оставя с отворена бленда, така че то да осветява сензора за продължително време. Слънчевата светлина преминава през филтър, така че интензитетът ѝ е $I_0 = 0.1\,\mathrm{W/m^2}$ , а ъгловият диаметър на Слънцето е приблизително $\alpha = 0.5^\mathrm{O}$ . Намерете равновесната температура $T_0$ на осветената част от сензора. [4т]

Упътване б): Равновесна температура се постига, когато за единица време тялото поглъща и излъчва еднакво количество енергия.

Приемете, че сензорът поглъща целия светлинен поток и че е с нулева топлинна проводимост (не провежда топлина към неосветената си част и към останалата част от фотоапарата). Сензорът излъчва топлина единствено от осветената от Слънцето страна.

Константа на Стефан-Болцман $\sigma = 5.67\mathrm{x}10^{-8}\ \mathrm{Wm^{-2}K^{-4}}$ . [4 т.]

Отговори

Решение

Част А

а) Прилагаме закона на Снелиус за всяка една граница:

n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2,\qquad n_2\sin\alpha_2 = n_3\sin\alpha_3,\qquad \ldots\qquad n_{N-1}\sin\alpha_{N-1} = n_N\sin\alpha_N.\qquad \textbf{[0.5т]}

Така намираме уравнението $n_1\sin\alpha_1 = n_N\sin\alpha_N$ , откъдето получаваме

\alpha_N = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_N}\sin\alpha_1\right).\qquad \textbf{[0.5т]}

б) Законът на Снелиус за първата граница е

Лъч, пречупващ се на границите на пластинка с дебелина d; означени са ъгъл алфа, ъгъл бета, разликата алфа минус бета, отместването делта x и отсечката d върху косинус бета. — Геометрия на отместването $\Delta x$ при плоскопаралелна пластинка: ъгли $\alpha$ , $\beta$ и $\alpha-\beta$ и дължина на пътя в пластинката $\dfrac{d}{\cos\beta}$ .

n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta.\qquad \textbf{[0.25т]}

Лъчът в третата среда е успореден на падналия. За отместването намираме

\Delta x = d\,\frac{\sin\left(\alpha-\beta\right)}{\cos\beta} = d\,\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\beta},\qquad \textbf{[1т]}

където сме ползвали, че $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ . Така намираме

\Delta x = d\left(\sin\alpha-\cos\alpha\,\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right) = d\left(\sin\alpha-\cos\alpha\,\frac{\sin\beta}{\sqrt{1-\sin^2\beta}}\right).\qquad \textbf{[0.5т]}

Използваме закона на Снелиус:

\Delta x = d\sin\alpha\left(1-\frac{\dfrac{n_1}{n_2}\cos\alpha}{\sqrt{1-\left(\dfrac{n_1}{n_2}\sin\alpha\right)^2}}\right).\qquad \textbf{[1т]}

Схема на леща с лъчи, събиращи се към сензор с размер L на разстояние b; означен е половиният ъгъл фи върху две. — Зрително поле на фотоапарата: сензор със страна $L$ на разстояние $b$ от лещата и половин ъгъл $\phi/2$ .

За дадените стойности имаме $\Delta x \approx 0.33$ см. [0.25т]

Част Б

а) От фигурата се вижда, че

\tan\frac{\phi}{2} = \frac{L}{2b},

откъдето получаваме

\phi = 2\arctan\frac{L}{2b}.\qquad \textbf{[0.5т]}

Разстоянието $b$ намираме от формулата $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$ :

b = \frac{af}{a-f}.\qquad \textbf{[0.5т]}

Така намираме

\phi = 2\arctan\frac{L(a-f)}{2af} \approx 89.4^\circ.\qquad \textbf{[1т]}

б) Във фотоапарата влиза светлинен поток с мощност

P = I_0S = I_0\frac{\pi d^2}{4}.\qquad \textbf{[0.75т]}

Тази мощност се разпределя върху кръг с приблизителен диаметър $\alpha f$ и площ $S' = \dfrac{\pi\alpha^2f^2}{4}$ [0.75т]. Така за мощността на единица площ имаме $\dfrac{P}{S'} = I_0\left(\dfrac{d}{\alpha f}\right)^2$ [0.5т]. За равновесната температура имаме

\sigma T_0^4 = \frac{P}{S'} = I_0\left(\frac{d}{\alpha f}\right)^2,\qquad \textbf{[1т]}

откъдето получаваме

T_0 = \left(\frac{I_0}{\sigma}\left(\frac{d}{\alpha f}\right)^2\right)^{1/4} \approx 390\ \mathrm{K}.\qquad \textbf{[1т]}

Оригинал в Архива: proletni_2016_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2016_11-12solutions.pdf