Съдържание

НПСФ 2016, 7. клас — Задача 1. “Черни кутии“ с електрически схеми

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2016

Национално пролетно състезание по физика 2016, тема за 7. клас · 12 март 2016 г. · 10 т.

Условие

Целта на някои задачи по физика е да разберем какво има в някаква „черна кутия“ (кутия с неизвестно съдържание), като за да решим задачата, трябва да направим някакви наблюдения или измервания. В задачите за електрически черни кутии трябва да разберем вида, броя, разположението и стойностите на конкретни елементи на електрически схеми. Тук ще разгледаме задача за „черна кутия“, съдържаща 3 резистора.

а) На Фиг. 1а е показана черна кутия, от която излизат три проводника – A, B, и C. Знаем, че вътре в нея има 3 резистора, свързани по начина, показан на фигурата (който се нарича „триъгълник“). Техните електрични съпротивления са съответно $r_{AB} = 20\ \Omega$ , $r_{BC} = 30\ \Omega$ и $r_{CA} = 50\ \Omega$ . Какво електрично съпротивление бихме измерили с омметър между всяка една двойка проводници, т.е. $R_{AB} = ?$ , $R_{BC} = ?$ , $R_{CA} = ?$ [3 т.]

Пунктирана окръжност с изводи A, B и C; вътре три резистора $r_{AB}$, $r_{BC}$ и $r_{CA}$, свързани в триъгълник. — Фиг. 1а — черна кутия с три резистора, свързани в „триъгълник“.

Пунктирана окръжност с изводи A, B и C; вътре три резистора $r_A$, $r_B$ и $r_C$, свързани в звезда с общ възел. — Фиг. 1б — черна кутия с три резистора, свързани в „звезда“.

б) На Фиг. 1б е показана друга черна кутия, от която също излизат три проводника – A, B, и C. Знаем, че вътре в нея има 3 резистора, свързани по начина, показан на фигурата (който се нарича „звезда“). Измерили сме с омметър електричното съпротивление между всяка една двойка точки, съответно $X_{AB} = 16\ \Omega$ , $X_{BC} = 21\ \Omega$ , $X_{CA} = 25\ \Omega$ . Изчислете големината на електричното съпротивление на трите резистора, $r_A = ?$ , $r_B = ?$ , $r_C = ?$ [4 т.]

в) Какво съпротивление $Y_{AB}$ бихме измерили между проводниците A и B в схемата „триъгълник“ от Фиг. 1а (и подусловие а)), ако по време на измерването дадем „накъсо“ (допълнително свържем с проводник с пренебрежимо малко, „нулево“ съпротивление) точките A и C? [1 т.]

г) Какво съпротивление $Z_{AB}$ бихме измерили между точките A и B в схемата „звезда“ от Фиг. 1б (и подусловие б)), ако по време на измерването дадем „накъсо“ (допълнително свържем с проводник с пренебрежимо малко, „нулево“ съпротивление) точките A и C? [2 т.]

Отговори

Решение

а) За да намерим съпротивлението $R_{AB}$ , разсъждаваме така: $r_{CA}$ и $r_{BC}$ са последователно свързани. Тяхното общо („еквивалентно“) съпротивление е $r_{ACB} = r_{CA} + r_{BC} = 50\ \Omega + 30\ \Omega = 80\ \Omega$ . [0.5 т.] Това общо съпротивление $r_{ACB}$ и резисторът $r_{AB}$ са успоредно свързани. Следователно омметърът ще измери съпротивление $R_{AB} = \frac{r_{ACB}\cdot r_{AB}}{r_{ACB}+r_{AB}} = \frac{80\,\Omega\cdot 20\,\Omega}{80\,\Omega+20\,\Omega} = 16\ \Omega$ . [0.5 т.] Аналогично за втория случай, $r_{BAC} = r_{AB} + r_{CA} = 20\ \Omega + 50\ \Omega = 70\ \Omega$ . [0.5 т.], $R_{BC} = \frac{r_{BAC}\cdot r_{BC}}{r_{BAC}+r_{BC}} = \frac{70\,\Omega\cdot 30\,\Omega}{70\,\Omega+30\,\Omega} = 21\ \Omega$ . [0.5 т.] За третия случай, $r_{CBA} = r_{AB} + r_{BC} = 20\ \Omega + 30\ \Omega = 50\ \Omega$ . [0.5 т.], $R_{CA} = \frac{r_{CBA}\cdot r_{CA}}{r_{CBA}+r_{CA}} = \frac{50\,\Omega\cdot 50\,\Omega}{50\,\Omega+50\,\Omega} = 25\ \Omega$ . [0.5 т.]

б) Тъй като между всеки два извода на схемата има по два последователно свързани резистора, то: $r_A + r_B = X_{AB}$ , $r_B + r_C = X_{BC}$ , $r_C + r_A = X_{CA}$ . [1 т.] Ако съберем първото и третото равенство и от полученото ново равенство извадим второто, получаваме $r_A = \frac{X_{AB}+X_{CA}-X_{BC}}{2} = \frac{16\ \Omega+25\ \Omega-21\ \Omega}{2} = 10\ \Omega$ . [1 т.] По същия начин $r_B = \frac{X_{BC}+X_{AB}-X_{CA}}{2} = \frac{21\ \Omega+16\ \Omega-25\ \Omega}{2} = 6\ \Omega$ . [1 т.] и $r_C = \frac{X_{CA}+X_{BC}-X_{AB}}{2} = \frac{25\ \Omega+21\ \Omega-16\ \Omega}{2} = 15\ \Omega$ . [1 т.]

в) При даване “накъсо” на точките A и C в схемата „триъгълник“ от Фиг. 1а, съпротивлението $Y_{AB}$ ще е това, което се получава от успоредното свързване на $r_{AB}$ и $r_{BC}$ , т.е. $Y_{AB} = \frac{r_{AB}\cdot r_{BC}}{r_{AB}+r_{BC}} = \frac{20\,\Omega\cdot 30\,\Omega}{20\,\Omega+30\,\Omega} = 12\ \Omega$ . [1 т.]

г) При даване “накъсо” на точките A и C в схемата „звезда“ от Фиг. 1б, съпротивлението $Z_{AB}$ ще е това, което се получава от успоредното свързване на $r_A$ и $r_C$ , и последователното на тях $r_B$ , [1 т.] т.е. $Z_{AB} = \frac{r_A\cdot r_C}{r_A+r_C} + r_B = \frac{10\,\Omega\cdot 15\,\Omega}{10\,\Omega+15\,\Omega} + 6\ \Omega = 12\ \Omega$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2016_7problems.pdf · официални решения: proletni_2016_7solutions.pdf