Съдържание

НПСФ 2016, 9. клас — Задача 1. Електрически вериги

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2016

Национално пролетно състезание по физика 2016, тема за 9. клас · 12 март 2016 г. · 10 т.

Условие

Част А Заряд на кондензатор. На фиг.1 е показана електрическа верига, в която кондензаторите 1 и 2 имат капацитети съответно $C_1 = 2C$ и $C_2 = 3C$ . Напрежението на източника е $U$ , а съпротивленията на резисторите 1 и 2 удовлетворяват равенството $R_1 = 2R_2$ . Намерете заряда $q$ на кондензатора, включен между точките $M$ и $N$ , при условие, че във веригата се е установил постоянен ток. [5 т.]

Мостова верига между точки A и B: горният клон съдържа резисторите R1 и R2 с общ възел M, долният — кондензаторите C1 и C2 с общ възел N, а между M и N е включен кондензатор C; източникът с напрежение U затваря веригата между A и B. — Фиг. 1

Част Б Потенциометър. Регулирането на напрежението между краищата на резистор със съпротивление $2R$ става чрез потенциометър със съпротивление $R$ (фиг. 2). В началото резисторът е свързан към половината съпротивление на потенциометъра. Към каква част $R_x$ от съпротивлението на потенциометъра трябва да се свърже резисторът, за да нарасне напрежението му един път и половина? Начертайте схемата на електрическата верига във всеки един от случаите. [5 т.]

Резистор 2R, свързан чрез плъзгач (стрелка) към потенциометър, захранван от източник; плъзгачът е в средата на потенциометъра. — Фиг. 2

Отговори

Решение

Част А: Заряд на кондензатор. Токът, който тече във веригата, е

I = \frac{U}{R_1 + R_2} = \frac{U}{3R_2}.

[0,5 т.]

Тогава напреженията между краищата на всеки от резисторите са съответно

U_1 = IR_1 = \frac{2}{3}U, \qquad U_2 = IR_2 = \frac{1}{3}U.

[0,5 т.]

Нека приемем, че електродът на кондензатора с капацитет $C$ , свързан с т. $N$ , има положителен заряд. (Ако зарядът на този електрод се окаже отрицателен, във всички уравнения трябва да заменим $q \to -q$ , при което електродите на този кондензатор ще сменят знаците на зарядите си.) Напрежението между точките $A$ и $M$ е сума от напреженията на кондензаторите с капацитет $C_1$ и $C$ . Тогава имаме

\frac{q_1}{C_1} + \frac{q}{C} = \frac{2}{3}U.

[1 т. ]

Аналогично напрежението между точките $A$ и $B$ е

\frac{q_1}{C_1} + \frac{q_2}{C_2} = U,

[1 т. ]

а от закона за запазване на електричния заряд в т. $N$ намираме

q_1 = q + q_2.

[1 т. ]

Решаването на тази система уравнения дава

q = \frac{1}{18}CU.

[1 т. ]

Част Б: Потенциометър. На фиг. 1, а е показана еквивалентната схема на свързване в първия случай. [0,5 т. ] Нека означим напрежението на източника с $U$ . Тогава за еквивалентното съпротивление на успоредно свързаните резистор и половината от потенциометъра имаме

Източник U захранва последователно половината потенциометър R/2 и успоредната група от резистора 2R и другата половина R/2; върху групата е означено напрежението U1. — Фиг. 1, а — еквивалентна схема в първия случай.

Източник U захранва последователно частта R − Rx от потенциометъра и успоредната група от резистора 2R и частта Rx; върху групата е означено напрежението U2. — Фиг. 1, б — еквивалентна схема във втория случай.

R_1 = \frac{2R.(R/2)}{2R + R/2} = \frac{2}{5}R.

[0,5 т.]

Тогава напрежението върху резистора е

U_1 = \frac{R_1}{R_1 + R/2}U = \frac{4}{9}U.

[0,5 т.]

Във втория случай (фиг. 1, б) [0,5 т. ] резисторът се свързва успоредно на съпротивлението $R_x$ на част от потенциометъра. Тогава еквивалентното им съпротивление е

R_2 = \frac{2RR_x}{2R + R_x}

[0,5 т.]

а напрежението между краищата на резистора е

U_2 = \frac{R_2}{R - R_x + R_2}U = \frac{2RR_x}{RR_x - R_x^2 + 2R^2}U = \frac{2}{3}U.

[1 т.]

Търсеното съпротивление $R_x$ се определя от квадратното уравнение

R_x^2 + 2RR_x - 2R^2 = 0.

[0,5 т.]

Следователно търсеното съпротивление е

R_x = (\sqrt{3}-1)R \approx 0{,}73R \approx \frac{3}{4}R.

[1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2016_9problems.pdf · официални решения: proletni_2016_9solutions.pdf