Съдържание

НПСФ 2016, Специална тема — Задача 1. Механика на бадминтона

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2016

Национално пролетно състезание по физика – Бургас, 12 март 2016 г. — Специална тема · 12 март 2016 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Физичните константи, отпечатани на стр. 1 преди Задача 1, важат за цялата тема: $c = 3.00 \times 10^{8}$ m/s; $\gamma = 6.67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg²; $R = 8.314$ J/(mol·K); $N_\mathrm{A} = 6.02 \times 10^{23}$ mol $^{-1}$ ; $g = 9.81$ m/s².

Условие

Физични константи

Скорост на светлината във вакуум	$c = 3.00 \times 10^{8}$ m/s
Гравитационна константа	$\gamma = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^{2}/kg^{2}}$
Универсална газова константа	$R = 8.314\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$
Число на Авогадро	$N_\mathrm{A} = 6.02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Земно ускорение	$g = 9.81\ \mathrm{m/s^{2}}$

Перото за игра на бадминтон (вж. фиг. 1.1) е пример за тяло, при чието движение съществена роля играе силата на съпротивление на въздуха. Означените на фигурата размери на перото са D = 5.8 cm и L = 7.0 cm, а масата му, съсредоточена основно в сферичната глава, е m = 4.80 g. Експерименталните данни в задачата се отнасят за движение на перото във въздух при налягане p = 99.8 kPa и температура T = 297 K. Приемете, че средната моларна маса на въздуха е $\mu = 0.029\ \mathrm{kg/m^{3}}$ .

Снимка на перо за бадминтон със стрелки, означаващи дължината L и диаметъра D. — Фиг. 1.1 — перо за бадминтон с означени размери L и D.

Кълбовидно тяло, движещо се със скорост v, и щрихованата проекция S върху равнина, перпендикулярна на скоростта. — Фиг. 1.2 — площта S на проекцията на тялото в равнина, перпендикулярна на скоростта $v$ .

При движение на тяло във флуид с пренебрежим вискозитет, върху тялото действа сила на съпротивление, която се дава с израза:

f = \frac{1}{2} C_D \rho S v^2

където $\rho$ е плътността на флуида, $v$ – скоростта на тялото, S – площта на проекцията на тялото в равнина, перпендикулярна на скоростта му (вж. фиг. 1.2). Безразмерният коефициент $C_\mathrm{D}$ се нарича коефициент на челно съпротивление и зависи от формата на тялото. Целта на задачата е да определите коефициента на челно съпротивление на перото за бадминтон въз основа на реални експериментални данни.

А) Помощни съотношения. От стробоскопична снимка на движещо се тяло са установени радиус-векторите $\vec{r_1}, \vec{r_2}$ и $\vec{r_3}$ на три негови последователни положения през еднакви интервали от време $\Delta t$ . Ако приемете, че движението на тялото е равноускорително, получете изрази за ускорението на тялото $\vec{a}$ и за скоростите му $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ и $\vec{v_3}$ в съответните три момента, изразени само чрез радиус-векторите и интервала време. [2,5 т.]

Б) В случай, че движението на тялото не е равноускорително, получените в точка А формули дават само приблизителни стойности за скоростта и ускорението в трите момента. За кой от трите момента, според вас, получените формули дават най-точна оценка на скоростта и на ускорението? Не е нужно да се аргументирате. [0,5 т.]

В) Графиката на фиг. 1.3 изобразява последователните положения на главата на летящо перо за бадминтон, получени от стробоскопична снимка с интервал между кадрите $\Delta t = 200\ \mathrm{ms}$ . Оста X е хоризонтална, а Y – вертикална. Можете да приемете, че: 1) през целия полет оста на перото е успоредна на вектора на скоростта на главата; 2) промяната на ускорението за времето между два кадъра е пренебрежимо малка.

Графика Y(m) спрямо X(m) с девет точки, описващи траекторията на главата на перото. — Фиг. 1.3 Последователни положения на главата на перо за бадминтон, получени от стробоскопична снимка с интервал между кадрите $\Delta t = 200\ \mathrm{ms}$ .

В празните полета на таблицата от работния лист нанесете:

координатите x и $y$ на перото в моментите на дадените кадри (в момента t = 0 перото се намира в центъра на координатната система);
пресметнатите компоненти $v_x$ и $v_y$ , $a_x$ и $a_y$ съответно на скоростта и ускорението на перото.

Запишете формулите, които използвате, за да получите оценка на скоростта и ускорението в i-тия момент от време (можете да не разглеждате началния и крайния момент). [3 т.]

Г) Въз основа на дадените и на пресметнатите данни, предложете графичен метод, чрез който да определите коефициента $C_\mathrm{D}$ на челно съпротивление на перото. Направете нужните изчисления и оценете грешката на получения резултат. За построяване на графики можете да използвате разграфената координатна система в работния ви лист.

Внимание! Предайте работния лист заедно с останалите листа от решението. [4 т.]

Отговори

Решение

А) Помощни съотношения.

Разглеждаме момента 1 като начален и записваме уравненията за скоростта и преместването при равноускорително движение в моментите 2 и 3.

\vec{v_2} = \vec{v_1} + \vec{a}\Delta t

\vec{v_3} = \vec{v_1} + \vec{a}(2\Delta t)

\vec{r_2} = \vec{r_1} + \vec{v_1}\Delta t + \frac{1}{2}\vec{a}\Delta t^2

\vec{r_3} = \vec{r_1} + \vec{v_1}(2\Delta t) + \frac{1}{2}\vec{a}(2\Delta t)^2

От четирите уравнения намираме:

\vec{v_1} = \frac{4\vec{r_2} - 3\vec{r_1} - \vec{r_3}}{2\Delta t};\quad \vec{v_2} = \frac{\vec{r_3} - \vec{r_1}}{2\Delta t};\quad \vec{v_3} = \frac{\vec{r_1} + 3\vec{r_3} - 4\vec{r_2}}{2\Delta t}

\vec{a} = \frac{\vec{r_1} - 2\,\vec{r_2} + \vec{r_3}}{\Delta t^2}

Б) Получените формули дават най-точна оценка за скоростта и за ускорението в средния (втория) момент.

В) За определяне на ускорението и скоростта в даден момент i, използваме координатите на перото в същия момент, както и в предходния (i–1), и в следващия (i+1) момент. За компонентите на скоростта имаме:

v_{xi} = \frac{x_{i+1} - x_{i-1}}{2\Delta t};\quad v_{yi} = \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2\Delta t}

а за компонентите на ускорението съответно:

a_{xi} = \frac{x_{i+1} - 2x_i + x_{i-1}}{\Delta t^2};\quad a_{yi} = \frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{\Delta t^2}

Така пресметнатите стойности са дадени в таблицата.

№	t (s)	x (m)	y (m)	$v_x$ (m/s)	$v_y$ (m/s)	$a_\mathrm{x}$ (m/s $^2$ )	$a_\mathrm{y}$ (m/s $^2$ )	$v$ (m/s)	$vv_\mathrm{x}$ (m $^2$ s $^2$ )	$vv_\mathrm{y}$ (m $^2$ s $^2$ )
1	0.0	0.0	0.0
2	0.2	3.3	2.4	12.2	8.3	-43.9	-39.1	14.8	180.4	123.0
3	0.4	4.9	3.3	6.7	2.8	-10.8	-15.8	7.3	49.4	20.7
4	0.6	6.0	3.6	5.0	0.3	-6.6	-9.8	5.0	25.1	1.4
5	0.8	6.9	3.4	3.9	-1.5	-4.1	-7.6	4.2	16.5	-6.2
6	1.0	7.6	3.0	3.0	-2.9	-4.8	-6.9	4.2	12.8	-12.3
7	1.2	8.1	2.3	2.2	-4.1	-3.5	-5.1	4.7	10.4	-19.3
8	1.4	8.5	1.3	1.7	-4.9	-1.2	-2.5	5.2	9.0	-25.3
9	1.6	8.8	0.3

Г) От II принцип на Нютон имаме:

m\vec{a} = m\vec{g} - \frac{1}{2}C_D \rho S^2 v^2 \vec{n}

където $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ е големината на скоростта, а $\vec{n}$ е единичен вектор в посока на скоростта. Ако проектираме векторното равенство по двете координатни оси, получаваме:

a_x = -\frac{C_D \rho S^2}{2m} v v_x

a_y = -g - \frac{C_D \rho S^2}{2m} v v_y

Следователно, ако изберем като нови променливи $vv_x$ и $a_x$ , ще получим права пропорционалност с наклон $k = -\frac{C_D \rho S}{2m}$ , от който можем да определим коефициента $C_\mathrm{D}$ . Пресметнатите стойности на големината на скоростта $v$ и на новата променлива $vv_x$ са дадени в таблицата.

На графиката са нанесени точките, съответстващи на променливите $vv_x$ и $a_x$ , както е построена и апроксимиращата права, минаваща през тях. За наклона на правата намираме:

k = \frac{\Delta a_x}{\Delta (vv_x)} = \frac{-49\ \mathrm{m/s^2}}{200\ \mathrm{m^2/s^2}} = -0.25(\pm 0.02)\ \mathrm{m^{-1}}

Графика на a_x (m/s^2) спрямо vv_x (m^2/s^2) с осем точки, права с наклон -0,25 и две пунктирани линии на грешката. — Зависимост на $a_x$ от $vv_x$ с апроксимиращата права и границите на грешката (решение на подусловие Г).

Плътността на въздуха определяме от уравнението на Клапейрон-Менделеев:

\rho = \frac{p\mu}{RT} = 1.17\ \mathrm{kg/m^3}

Площта на сечението, перпендикулярно на скоростта, е:

S = \frac{\pi D^2}{4} = 26.4\ \mathrm{cm^2} = 2.64 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^2}

Следователно за коефициента на челно съпротивление намираме:

C_D = -\frac{2mk}{\rho S} \approx 0.78

Относителната грешка на резултата е $\frac{\Delta C_D}{C_D} = \frac{\Delta k}{k} = 0.08$ . Окончателно получаваме:

C_D = 0.78 \pm 0.06

Оригинал в Архива: proletni_2016_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2016_STsolutions.pdf