Съдържание

НПСФ 2016, Специална тема — Задача 2. Гравитационна вълна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2016

Национално пролетно състезание по физика – Бургас, 12 март 2016 г. — Специална тема · 12 март 2016 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Физичните константи, отпечатани на стр. 1 преди Задача 1, важат за цялата тема: $c = 3.00 \times 10^{8}$ m/s; $\gamma = 6.67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg²; $R = 8.314$ J/(mol·K); $N_\mathrm{A} = 6.02 \times 10^{23}$ mol $^{-1}$ ; $g = 9.81$ m/s².

Условие

Гравитационната вълна представлява смущение в геометрията на пространството, което се разпространява с крайна скорост c. От практическа гледна точка гравитационната вълна се проявява като деформация на телата, през които преминава. Гравитационните вълни се излъчват от масивни обекти, които се движат с ускорение, например: въртящо се несиметрично тяло, двойка звезди, обикалящи около общия им център на масата, неизотропен взрив на свръхнова, сблъсък между космически обекти и др.

А) Гравитационната вълна предизвиква деформация на телата в равнина, перпендикулярна на посоката на разпространение на вълната. Деформацията се изразява в еднородно разтягане (свиване) на тялото k пъти в дадено направление X и едновременно свиване (разтягане) 1/k пъти в перпендикулярното направление Y, както е показано на фиг. 2.1. В случай на слаби гравитационни вълни, породени от далечни космически обекти, коефициентът на разтягане k се мени по хармоничен закон:

k(t) = 1 + h\sin(\omega t)

където $h \ll 1$ е безразмерната амплитуда на вълната. Тя има смисъл на максимална относителна деформация, предизвикана от вълната.

Квадрат в координатна система XY и два пунктирани правоъгълника, разтеглени съответно по X и по Y. — Фиг. 2.1 — деформация на тяло от гравитационна вълна: разтягане по X и свиване по Y.

Две тела, свързани с отсечка r и въртящи се около общия си център на масата, и дълга отсечка R към наблюдателя. — Фиг. 2.2 — двойка звезди на разстояние r една от друга, наблюдавани от разстояние R.

Нека означим с I интензитета на вълната, т.е. количеството енергия, което вълната пренася за единица време през единица площ, ориентирана перпендикулярно на посоката на разпространение. Както при механичните вълни, интензитетът на гравитационната вълна е пропорционален на квадрата на нейната амплитуда:

I = f(\omega, \gamma, c)h^2

където коефициентът на пропорционалност f зависи от кръговата честота на вълната $\omega$ и фундаменталните константи $\gamma$ и c. Определете вида на функцията f с точност до безразмерен множител. [1,5 т.]

Б) Гравитационна вълна е породена от двойка звезди с маси $M_1$ и $M_2$ , обикалящи около общия си център на масата на разстояние r една от друга, както е показано на фиг. 2.2. Съгласно с Общата теория на относителността, амплитудата на вълната на разстояние R от звездите ( $R \gg r$ ) се дава с израза:

h = K(\gamma, c)\frac{E_k}{R}

където $E_k$ е кинетичната енергия на звездите, а K е коефициент на пропорционалност, зависещ само от фундаменталните константи $\gamma$ и c. Получете израз за K с точност до безразмерен множител. [1,5 т.]

В) За двойната система от фиг. 2.2 получете, с точност до безразмерен множител, израз за пълната мощност P, излъчвана под формата на гравитационни вълни, като функция на масите на звездите, разстоянието между тях и фундаменталните константи $\gamma$ и c. [1 т.]

Г) Загубата на енергия под форма на гравитационни вълни води до бавно намаляване на разстоянието между двойката звезди. Получете израз за скоростта $\mathrm{d}r/\mathrm{d}t$ , с която се променя разстоянието между звездите, ако приемете, че относителното изменение на разстоянието за една обиколка е много малко. Релативистките ефекти не се отчитат. Всички безразмерни коефициенти от предишните подточки, водят до множител 64/5, който можете да използвате наготово в окончателния израз. [3 т.]

Д) За колко време t разстоянието между звездите в системата ще се промени от определена начална стойност $r_0$ до крайна стойност $r_1$ ( $r_1 < r_0$ ). [1,5 т.]

Е) В проведения наскоро експеримент за детектиране на гравитационна вълна е регистрирана вълна от двойка черни дупки, въртящи се около общия си център на масата. Честотата на регистрирания сигнал се изменя от 45 Hz до 360 Hz за време t = 0.15 s, след което се предполага, че двете черни дупки са се сблъскали и сляли.

Ако приемете, че масите на двете черни дупки са еднакви, определете числено тяхната маса M, началното разстояние $r_0$ между тях и разстоянието $r_\mathrm{c}$ , при което е настъпил сблъсъкът. Не е нужно да получавате аналитични изрази за търсените величини. Релативистките ефекти не се отчитат. [1,5 т.]

Отговори

Решение

А) Приемаме, че f е степенна функция, т.е.

I \propto \omega^x \gamma^y c^z h^2

където x, y и z са неизвестни степнни показатели. Размерностите на величините в двете страни на уравнението са:

[I] = \mathrm{J \cdot s^{-1} \cdot m^{-2}} = \mathrm{kg \cdot s^{-3}};\ [\omega] = \mathrm{s^{-1}};\ [\gamma] = \mathrm{kg^{-1} \cdot s^{-2} \cdot m^{3}};\ [c] = \mathrm{s^{-1} \cdot m}

От равенството на размерностите в двете страни на уравнението получаваме:

\mathrm{kg \cdot s^{-3}} = \mathrm{kg}^{-y} \cdot \mathrm{s}^{-x-2y-z} \cdot \mathrm{m}^{3y+z}

откъдето намираме x = 2; y = –1; z = 3. Следователно:

I = \mathrm{const} \cdot \frac{c^3 \omega^2 h^2}{\gamma}

Б) Приемаме, че K е степенна функция, т.е.

h \propto \gamma^x c^y \frac{E_k}{R}

Лявата страна на уравнението е безразмерна, а размерностите на величините в дясната част са:

[\gamma] = \mathrm{kg^{-1} \cdot s^{-2} \cdot m^{3}};\ [c] = \mathrm{s^{-1} \cdot m};\ \left[\frac{E_k}{R}\right] = \mathrm{J \cdot m^{-1}} = \mathrm{N} = \mathrm{kg \cdot s^{-2} \cdot m}

От равенството на размерностите в двете страни на уравнението получаваме:

\mathrm{kg^0 \cdot s^0 \cdot m^0} = \mathrm{kg}^{1-x} \cdot \mathrm{s}^{-2x-y-2} \cdot \mathrm{m}^{3x+y+1}

откъдето намираме x = 1; y = –4. Следователно:

h = \mathrm{const} \cdot \frac{\gamma E_k}{Rc^4}

В) Ако обградим източника на вълна с мислена сфера с радиус R ( $R \gg r$ ), то мощността на източника е:

P \propto IR^2 \propto \frac{c^3\omega^2}{\gamma}\left(\frac{\gamma E_k}{Rc^4}\right)^2 R^2 = \frac{\gamma}{c^5}\omega^2 E_k^2

Нека означим с $r_1$ и $r_2$ разстоянията от звездите до центъра на масата на системата:

M_1 r_1 = M_2 r_2

r_1 + r_2 = r

\Rightarrow r_1 = \frac{M_2 r}{M_1 + M_2};\ r_2 = \frac{M_1 r}{M_1 + M_2}

От II принцип на Нютон:

M_1\omega^2 r_1 = M_2\omega^2 r_2 = \frac{\gamma M_1 M_2}{r^2}

\Longrightarrow \omega^2 = \frac{\gamma(M_1+M_2)}{r^3}

За кинетичната енергия намираме:

E_k = \frac{1}{2}(M_1 r_1^2 + M_2 r_2^2)\omega^2 = \frac{\gamma M_1 M_2}{2r}

Следователно, с точност до безразмерен множител, получаваме следния израз за излъчваната мощност:

P = \mathrm{const} \cdot \frac{\gamma^4 (M_1 M_2)^2 (M_1 + M_2)}{c^5 r^5}

Г) Пълната енергия на системата е:

E = E_k + E_p = \frac{\gamma M_1 M_2}{2r} - \frac{\gamma M_1 M_2}{r} = -\frac{\gamma M_1 M_2}{2r}

Излъчваната мощност е равна на скоростта, с която намалява пълната енергия на системата:

P = -\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = -\frac{\gamma M_1 M_2}{2r^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}

Като използваме израза за мощността, намираме:

-\frac{\gamma M_1 M_2}{2r^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \propto \frac{\gamma^4 (M_1 M_2)^2 (M_1+M_2)}{c^5 r^5}

откъдето, с отчитане на дадения безразмерен множител, получаваме:

\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = -\frac{64\gamma^3 M_1 M_2 (M_1+M_2)}{5c^5 r^3}

Д) След интегриране на полученото в т. Г уравнение, намираме:

r_0^4 - r_1^4 = \frac{512\gamma^3 M^3}{5c^5}t

Откъдето

t = \frac{5c^5(r_0^4 - r_1^4)}{512\gamma^3 M^3}

Е) Периодът на гравитационната вълна е два пъти по-малък от периода на обикаляне на звездите, защото след половин обиколка, звездите заемат неразличими от гледна точка на гравитационното поле положения. Следователно ъгловата скорост $\omega$ на обикаляне на черните дупки е свързана с линейната честота $\nu$ на вълната като: $\omega = \pi\nu$ . От получените в точка В съотношения, намираме ( $M_1 = M_2 = M$ ):

r_0 = \frac{(2\gamma M)^{1/3}}{(\pi\nu_0)^{2/3}}\quad \text{и}\quad r_c = \frac{(2\gamma M)^{1/3}}{(\pi\nu_c)^{2/3}}

Също така от т. Д имаме:

r_0^4 - r_c^4 = \frac{512\gamma^3 M^3}{5c^5}t

Численото решаване на трите уравнения дава:

r_0 \approx 7.0 \times 10^5\ \mathrm{m};\quad r_c \approx 1.8 \times 10^5\ \mathrm{m};\quad M \approx 5.2 \times 10^{31}\ \mathrm{kg}.

Оригинал в Архива: proletni_2016_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2016_STsolutions.pdf