НПСФ 2016, Специална тема — Задача 2. Гравитационна вълна

Национално пролетно състезание по физика – Бургас, 12 март 2016 г. — Специална тема · 12 март 2016 г. · 10 т.

Условие

Гравитационната вълна представлява смущение в геометрията на пространството, което се разпространява с крайна скорост c. От практическа гледна точка гравитационната вълна се проявява като деформация на телата, през които преминава. Гравитационните вълни се излъчват от масивни обекти, които се движат с ускорение, например: въртящо се несиметрично тяло, двойка звезди, обикалящи около общия им център на масата, неизотропен взрив на свръхнова, сблъсък между космически обекти и др.

А) Гравитационната вълна предизвиква деформация на телата в равнина, перпендикулярна на посоката на разпространение на вълната. Деформацията се изразява в еднородно разтягане (свиване) на тялото k пъти в дадено направление X и едновременно свиване (разтягане) 1/k пъти в перпендикулярното направление Y, както е показано на фиг. 2.1. В случай на слаби гравитационни вълни, породени от далечни космически обекти, коефициентът на разтягане k се мени по хармоничен закон:

$k(t) = 1 + h\sin(\omega t)$

където $h \ll 1$ е безразмерната амплитуда на вълната. Тя има смисъл на максимална относителна деформация, предизвикана от вълната.

Нека означим с I интензитета на вълната, т.е. количеството енергия, което вълната пренася за единица време през единица площ, ориентирана перпендикулярно на посоката на разпространение. Както при механичните вълни, интензитетът на гравитационната вълна е пропорционален на квадрата на нейната амплитуда:

$I = f(\omega, \gamma, c)h^2$

където коефициентът на пропорционалност f зависи от кръговата честота на вълната $\omega$ и фундаменталните константи $\gamma$ и c. Определете вида на функцията f с точност до безразмерен множител. [1,5 т.]

Б) Гравитационна вълна е породена от двойка звезди с маси $M_1$ и $M_2$, обикалящи около общия си център на масата на разстояние r една от друга, както е показано на фиг. 2.2. Съгласно с Общата теория на относителността, амплитудата на вълната на разстояние R от звездите ($R \gg r$) се дава с израза:

$h = K(\gamma, c)\frac{E_k}{R}$

където $E_k$ е кинетичната енергия на звездите, а K е коефициент на пропорционалност, зависещ само от фундаменталните константи $\gamma$ и c. Получете израз за K с точност до безразмерен множител. [1,5 т.]

В) За двойната система от фиг. 2.2 получете, с точност до безразмерен множител, израз за пълната мощност P, излъчвана под формата на гравитационни вълни, като функция на масите на звездите, разстоянието между тях и фундаменталните константи $\gamma$ и c. [1 т.]

Г) Загубата на енергия под форма на гравитационни вълни води до бавно намаляване на разстоянието между двойката звезди. Получете израз за скоростта $\mathrm{d}r/\mathrm{d}t$, с която се променя разстоянието между звездите, ако приемете, че относителното изменение на разстоянието за една обиколка е много малко. Релативистките ефекти не се отчитат. Всички безразмерни коефициенти от предишните подточки, водят до множител 64/5, който можете да използвате наготово в окончателния израз. [3 т.]

Д) За колко време t разстоянието между звездите в системата ще се промени от определена начална стойност $r_0$ до крайна стойност $r_1$ ($r_1 < r_0$). [1,5 т.]

Е) В проведения наскоро експеримент за детектиране на гравитационна вълна е регистрирана вълна от двойка черни дупки, въртящи се около общия си център на масата. Честотата на регистрирания сигнал се изменя от 45 Hz до 360 Hz за време t = 0.15 s, след което се предполага, че двете черни дупки са се сблъскали и сляли.

Ако приемете, че масите на двете черни дупки са еднакви, определете числено тяхната маса M, началното разстояние $r_0$ между тях и разстоянието $r_\mathrm{c}$, при което е настъпил сблъсъкът. Не е нужно да получавате аналитични изрази за търсените величини. Релативистките ефекти не се отчитат. [1,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2016_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2016_STsolutions.pdf