НПСФ 2016, Специална тема — Задача 3. Хексагонална решетка

Национално пролетно състезание по физика – Бургас, 12 март 2016 г. — Специална тема · 12 март 2016 г. · 10 т.

Условие

Много често в природата и в техниката се срещат хексагонални структури, т.е. структури съставени от правилни шестоъгълни елементи, запълващи плътно двумерна равнина (виж например фиг. 3.1). Тук, в три независими подусловия, ще изследвате някои физични свойства на различни такива структури.

А) Повърхнинна плътност на графена

Графенът (фиг. 3.2) е двумерна форма на въглерода. Състои се от въглеродни атоми, заемащи върховете на правилни шестоъгълници, които запълват плътно равнината. Разстоянието между два съседни въглеродни атома е $a = 1.42\ \text{Å}$. Колко е повърхнинната плътност $\lambda$ на графена, т.е. колко е масата на единица площ от слой графен. Моларната маса на въглерода е $\mu = 0.012\ \mathrm{kg/mol}$. [2 т.]

Б) Хексагонална мрежа от резистори

За безкрайната хексагонална мрежа от еднакви резистори със съпротивление R всеки (фиг. 3.3), определете еквивалентното съпротивление $R_\mathrm{AB}$ между точките A и B. [3 т.]

В) Дифузия в хексагонален кристал

В някои кристали пренасянето на електричен ток се дължи на т.нар. „скокова“ проводимост. В отсъствие на електрично поле, токовите носители „блуждаят“ по кристала, като извършват случайни скокове от атом на атом. В хексагоналния кристал, показан на фиг. 3.4, в даден момент електрон се намира в т. A. Електронът може да прескочи с еднаква вероятност 1/3 на всеки от трите съседни атома, после със същата вероятност на някой от следващата тройка съседни атоми и т.н.

Пресметнете вероятностите $P(A), P(B), P(C), P(D), P(E)$ и $P(F)$ след три случайни скока електронът да се окаже съответно в точките от A до F. [5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2016_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2016_STsolutions.pdf