Съдържание

НПСФ 2016, Специална тема — Задача 3. Хексагонална решетка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2016

Национално пролетно състезание по физика – Бургас, 12 март 2016 г. — Специална тема · 12 март 2016 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Физичните константи, отпечатани на стр. 1 преди Задача 1, важат за цялата тема: $c = 3.00 \times 10^{8}$ m/s; $\gamma = 6.67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg²; $R = 8.314$ J/(mol·K); $N_\mathrm{A} = 6.02 \times 10^{23}$ mol $^{-1}$ ; $g = 9.81$ m/s².

Условие

Много често в природата и в техниката се срещат хексагонални структури, т.е. структури съставени от правилни шестоъгълни елементи, запълващи плътно двумерна равнина (виж например фиг. 3.1). Тук, в три независими подусловия, ще изследвате някои физични свойства на различни такива структури.

Снимка на пчела върху восъчна пита от правилни шестоъгълни клетки. — Фиг. 3.1 — пчелна пита: пример за хексагонална структура в природата.

Модел на графенов слой — атоми, свързани в шестоъгълна решетка. — Фиг. 3.2 — графен: въглеродни атоми във върховете на правилни шестоъгълници.

Хексагонална мрежа, в която всяко ребро е резистор; два съседни възела са означени с A и B. — Фиг. 3.3 — безкрайна хексагонална мрежа от еднакви резистори със съпротивление R; означени са точките A и B.

А) Повърхнинна плътност на графена

Графенът (фиг. 3.2) е двумерна форма на въглерода. Състои се от въглеродни атоми, заемащи върховете на правилни шестоъгълници, които запълват плътно равнината. Разстоянието между два съседни въглеродни атома е $a = 1.42\ \text{Å}$ . Колко е повърхнинната плътност $\lambda$ на графена, т.е. колко е масата на единица площ от слой графен. Моларната маса на въглерода е $\mu = 0.012\ \mathrm{kg/mol}$ . [2 т.]

Б) Хексагонална мрежа от резистори

За безкрайната хексагонална мрежа от еднакви резистори със съпротивление R всеки (фиг. 3.3), определете еквивалентното съпротивление $R_\mathrm{AB}$ между точките A и B. [3 т.]

В) Дифузия в хексагонален кристал

В някои кристали пренасянето на електричен ток се дължи на т.нар. „скокова“ проводимост. В отсъствие на електрично поле, токовите носители „блуждаят“ по кристала, като извършват случайни скокове от атом на атом. В хексагоналния кристал, показан на фиг. 3.4, в даден момент електрон се намира в т. A. Електронът може да прескочи с еднаква вероятност 1/3 на всеки от трите съседни атома, после със същата вероятност на някой от следващата тройка съседни атоми и т.н.

Хексагонална решетка с шест означени възела A, B, C, D, E, F около централния възел A. — Фиг. 3.4 — хексагонален кристал с означени атоми A, B, C, D, E и F.

Пресметнете вероятностите $P(A), P(B), P(C), P(D), P(E)$ и $P(F)$ след три случайни скока електронът да се окаже съответно в точките от A до F. [5 т.]

Отговори

Решение

А) Нека $m_\mathrm{C} = \mu/N_\mathrm{A}$ е масата на въглеродния атом. Всеки въглероден атом принадлежи на три шестоъгълни клетки и дава принос $\frac{1}{3}m_\mathrm{C}$ към масата на една клетка. Следователно масата на една клетка е:

m = 6 \times \frac{1}{3}m_\mathrm{C} = 2m_\mathrm{C} = \frac{2\mu}{N_\mathrm{A}}

Площта на шестоъгълната клетка е:

S = 3\sqrt{3}a^2/2

Следователно повърхнинната плътност на графена е:

\lambda = \frac{m}{S} = \frac{4\mu}{3\sqrt{3}N_\mathrm{A}a^2} = 7.6 \times 10^{-7}\ \mathrm{kg/m^2}

Б) Да приемем, че в т. A се „инжектира“ ток I, който се разпределя по цялата мрежа и „изтича“ към безкрайно отдалечените точки. От съображения за симетрия е ясно, че токовете, които текат по резисторите AB и BC са съответно:

I'_{AB} = \frac{1}{3}I \quad\text{и}\quad I'_{BC} = \frac{1}{2}I'_{AB} = \frac{1}{6}I

Ако от т. B се „отнема“ ток I, тогава от същите съображения следва, че:

I''_{AB} = \frac{1}{3}I

Ако точките A и B са включени едновременно към източник на ток, тогава през резистора AB тече ток:

I_{AB} = I'_{AB} + I''_{AB} = \frac{2}{3}I

а напрежението върху резистора е $U_{AB} = \frac{2}{3}IR$ . Следователно еквивалентното съпротивление между точките A и B е:

R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I} = \frac{2}{3}R

В) Електронът може да се върне в т. A или да попадне в точките C и E само след четен брой подскоци. Следователно $P(A) = P(C) = P(E) = 0$ .

Вероятността електронът да избере конкретна последователност от три отсечки е $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$ . За три стъпки електронът може да попадне в т. D само по два начина – като следва пътя ABCD или пътя AFED. Следователно

P(D) = 2 \times \frac{1}{27} = \frac{2}{27}

Електронът може да попадне в т. B по пет различни пътя: ABCB, ABHB, ABAB, AFAB, AGAB. Следователно:

P(B) = 5 \times \frac{1}{27} = \frac{5}{27}

Хексагонална решетка с означени възли A, B, C, D, E, F, G, H, D′ и D″. — Решетката от фиг. 3.4 с допълнителните означения G, H, D′ и D″, използвани при изброяването на пътищата (решение на подусловие В).

От съображения за симетрия:

P(F) = P(B) = \frac{5}{27}

Оригинал в Архива: proletni_2016_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2016_STsolutions.pdf