НПСФ 2017, 11–12 клас — Задача 1. Движение на топчета след удар

• а) $u_2 = \frac{2}{1+\frac{m_2}{m_3}}v_3,\qquad u_3 = \frac{1-\frac{m_2}{m_3}}{1+\frac{m_2}{m_3}}v_3$

  Топчето 3 удря само топчето 2; нишката се опъва едва след удара.

• б) $r_1 = \frac{L}{1+\frac{m_1}{m_2}},\qquad r_2 = L - r_1 = \frac{L}{1+\frac{m_2}{m_1}}$

• в) $u_C = \frac{m_2u_2}{m_1+m_2} = \frac{1}{1+\frac{m_1}{m_2}}\,\frac{2}{1+\frac{m_2}{m_3}}\,v_3$

• г) $\omega = \frac{u_2-u_C}{r_2} = \frac{u_2}{L} = \frac{2v_3}{L\left(1+\frac{m_2}{m_3}\right)}$

• д) $T = m_2\omega^2 r_2 = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\frac{u_2^2}{L} = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\frac{4v_3^2}{\left(1+\frac{m_2}{m_3}\right)^2 L}$

• е) $u_2 = 2\ \mathrm{m/s},\ u_3 = -1\ \mathrm{m/s},\ r_1 = \tfrac{1}{3}\ \mathrm{m},\ r_2 = \tfrac{2}{3}\ \mathrm{m},\ u_C = \tfrac{2}{3}\ \mathrm{m/s},\ \omega = 2\ \mathrm{rad/s},\ T = \tfrac{8}{3}\ \mathrm{N}$

  Числено: $r_1 \approx 0{,}33$ m, $r_2 \approx 0{,}67$ m, $u_C \approx 0{,}67$ m/s, $T \approx 2{,}67$ N. Знакът минус при $u_3$ означава, че топче 3 се отблъсква назад.

а) От закона за запазване на импулса следва, че $m_3v_3 = m_3u_3 + m_2u_2$ (1.1). [0,5 т.] Тъй като ударът е абсолютно еластичен, в сила е и законът за запазване на механичната енергия: $\frac{m_3v_3^2}{2} = \frac{m_3u_3^2}{2} + \frac{m_2u_2^2}{2}$ (1.2). [0,5 т.] Решавайки съвместно (1.1) и (1.2), се получава $u_3 = \frac{1-\frac{m_2}{m_3}}{1+\frac{m_2}{m_3}}v_3$, (1.3) [1 т.] $u_2 = \frac{2}{1+\frac{m_2}{m_3}}v_3$. (1.4) [1 т.]

б) Положението (координатата) на центъра на масата на система от две материални точки се дава с формулата $x_C = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$. (1.5) [0,2 т.] Ако центърът на координатната система се избере в точка 1, тогава (1.5) се трансформира в $r_1 = \frac{m_1\cdot 0+m_2L}{m_1+m_2} = \frac{L}{1+\frac{m_1}{m_2}}$. (1.6) [0,4 т.] Съответно $r_2 = L - r_1 = \frac{L}{1+\frac{m_2}{m_1}}$. (1.7) [0,4 т.]

в) Скоростта $u_C$ на центъра C на масата на системата от топчета 1 и 2 се намира по формулата $\vec{u}_C(t) = \frac{m_1\vec{u}_1(t)+m_2\vec{u}_2(t)}{m_1+m_2}$. [0,3 т.] Тъй като след удара системата от топчета 1 и 2 не взаимодейства с външни тела, $\vec{u}_C$ е постоянна. [0,2 т.] Веднага след удара $u_C = \frac{m_1\cdot 0+m_2u_2}{m_1+m_2} = \frac{u_2}{1+\frac{m_1}{m_2}} = \frac{1}{1+\frac{m_1}{m_2}}\,\frac{2}{1+\frac{m_2}{m_3}}\,v_3$. (1.8) [0,5 т.]

г) Ъгловата скорост $\omega$, с която системата от топчета 1 и 2 се върти около центъра на масата си C, е $\omega = \frac{u_2'}{r_2}$, където $u_2'$ е относителната скорост на топчето 2 спрямо центъра на масата C. [0,5 т.] Следователно $\omega = \frac{u_2-u_C}{r_2} = \frac{u_2}{L} = \frac{2v_3}{L\left(1+\frac{m_2}{m_3}\right)}$. [0,5 т.]

д) Силата T на опъване на нишката, свързваща въртящите се топчета 1 и 2, е центростремителна сила и осигурява движението по окръжност на топчетата 1 и 2 около центъра на масата им C. [0,3 т.] Следователно $T = m_2\omega^2 r_2 = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\frac{u_2^2}{L} = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\frac{\left(\frac{2}{1+\frac{m_2}{m_3}}v_3\right)^2}{L} = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\frac{4v_3^2}{\left(1+\frac{m_2}{m_3}\right)^2L}$. [0,7 т.]

е) Изчислените стойности на търсените величини, ако $m_1 = 2$ kg, $m_2 = 1$ kg, $m_3 = 0{,}5$ kg, $v_3 = 3$ m/s, L = 1 m, са дадени в таблицата.