НПСФ 2017, 11–12 клас — Задача 2. Атомни спектри на водород и $\mathrm{He}^+$

• а) $v = \sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{m_e r}}$

• б) $r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m_e Z e^2}$

• в) $E_n = -\frac{m_e}{8}\left(\frac{Ze^2}{\varepsilon_0 h}\right)^2\frac{1}{n^2}$

• г) $R = \frac{m_e}{8hc}\left(\frac{e^2}{\varepsilon_0 h}\right)^2$

• д) Балмерови линии на водорода във видимата област: $3\to 2$ — 656 nm, $4\to 2$ — 486 nm, $5\to 2$ — 434 nm, $6\to 2$ — 410 nm. Съвпадащите преходи в $\mathrm{He}^+$ са с два пъти по-големи числа: $6\to 4$, $8\to 4$, $10\to 4$ и $12\to 4$.

  Толеранс за дължините на вълните: $\pm 1$ nm.

а) При движението по окръжност на електрона му действа центростремителна сила, която е Кулоновата сила на привличане $\frac{m_e v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{r^2}$, [1 т.] откъдето $v = \sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{m_e r}}$. (2.1) [1 т.]

б) От условието за квантуване $m_e v_n r_n = n\hbar$ и използвайки (2.1), се получава $m_e v_n r_n = n\frac{h}{2\pi}$, $m_e\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{m_e r_n}}\,r_n = n\frac{h}{2\pi}$, $r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m_e Z e^2}$. [1 т.] (2.2)

в) Пълната енергия (кинетичната + потенциалната) на електрона при движението му по n-тата орбита (с радиус $r_n$) е $E_n = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = \frac{m_e v_n^2}{2} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{r_n} =$ [1 т.] $\dfrac{m_e\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{m_e r_n}}{2} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{r_n} = -\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{r_n} = -\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze^2}{\frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m_e Z e^2}} = -\frac{m_e}{8}\left(\frac{Ze^2}{\varepsilon_0 h}\right)^2\frac{1}{n^2}$. [1 т.] (2.3)

г) От формулата на Ридберг следва $\frac{1}{\lambda_{i\to j}} = R\left(\frac{1}{j^2}-\frac{1}{i^2}\right) = \frac{E_i-E_j}{hc}$. [0,5 т.] Използвайки (2.3) $R\left(\frac{1}{j^2}-\frac{1}{i^2}\right) = \frac{E_i-E_j}{hc} = -\frac{m_e}{8hc}\left(\frac{Ze^2}{\varepsilon_0 h}\right)^2\left(\frac{1}{i^2}-\frac{1}{j^2}\right)$, откъдето при $Z = 1$, $R = \frac{m_e}{8hc}\left(\frac{e^2}{\varepsilon_0 h}\right)^2$. [1,5 т.]

д) Дължината на вълната на линиите от Балмеровата серия на водорода във видимата област се изчисляват по формулата $\frac{1}{\lambda_{i\to 2}} = R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{j^2}\right)$ и са представени в таблицата. [0,8 т.] (по [0,2 т.] за всяка вярно изчислена стойност) Тъй като за $\mathrm{He}^+$ $Z = 2$, то формулата на Балмер ще се модифицира до $\frac{1}{\lambda_{i\to j}} = 4R\left(\frac{1}{j^2}-\frac{1}{i^2}\right)$ [0,3 т.] или $\frac{1}{\lambda_{i\to j}} = R\left(\frac{1}{\left(\frac{j}{2}\right)^2} - \frac{1}{\left(\frac{i}{2}\right)^2}\right)$. [0,4 т.] Следователно преходи между нива с два пъти по-големи числа в $\mathrm{He}^+$ ще имат същата дължина на вълната като съответните във водорода. [0,3 т.] Това са преходите 6→4, [0,3 т.] 8→4, [0,3 т.] 10→4 [0,3 т.] и 12→4 . [0,3 т.]