НПСФ 2017, 11–12 клас — Задача 2. Атомни спектри на водород и $\mathrm{He}^+$

Национално пролетно състезание по физика 2017, тема за 11.-12. клас · 10 март 2017 г. · 10 т.

Условие

Физични константи:
заряд на електрона	$e = 1{,}6022\cdot 10^{-19}$ C
маса на електрона	$m_e = 9{,}1094\cdot 10^{-31}$ kg
диелектрична проницаемост на вакуума	$\varepsilon_0 = 8{,}8542\cdot 10^{-12}$ F/m
константа на Планк	$h = 6{,}6261\cdot 10^{-34}$ J.s
скорост на светлината във вакуум	$c = 2{,}9979\cdot 10^{8}$ m/s

а) Електрон със заряд e и маса $m_e$ обикаля по окръжност с радиус r около ядро със заряд Ze (масата на ядрото е много по-голяма от масата на електрона). Получете формула за скоростта $v$ на движение на електрона. [2 т.]

б) Според теорията на Бор за водородния атом възможни са само тези кръгови орбити на електрона, за които е изпълнено условието за квантуване – моментът на импулса на електрона да е равен на цяло число n, умножено по редуцираната константа на Планк $\hbar$ $\left(\hbar = \frac{h}{2\pi}\right)$, т.е.: $m_e v r_n = n\hbar$. Алтернативно и еквивалентно условие за квантуване е „обиколката на кръговата орбита е равна на цяло число дължини на вълната на дьо Бройл на електрона“: $s_n = 2\pi r_n = n\lambda_B = n\frac{h}{m_e v}$. Използвайки едно от двете условия за квантуване, получете формула за радиуса $r_n$ на n-тата орбита на електрона. [1 т.]

в) Изразете пълната енергия $E_n$ (кинетичната + потенциалната) на електрона при движението му по n-тата орбита (с радиус $r_n$) като функция на физични константи и числото n. [2 т.]

г) Първата емпирична формула, описваща дължината на вълната на линия в емисионния спектър на водорода, дължаща се на преход на електрона от i-то на j-то ниво $(i > j)$, е формулата на Ридберг: $\frac{1}{\lambda_{i\to j}} = R\left(\frac{1}{j^2}-\frac{1}{i^2}\right)$, където $R$ е константата на Ридберг, $R = 1{,}0974\cdot 10^{7}\ \mathrm{m}^{-1}$. Използвайки резултатите, получени в предните подусловия, изразете константата на Ридберг чрез дадените физични константи. [2 т.]

д) Оказва се, че във видимата област (400 nm - 760 nm) някои от линиите от емисионните спектри на еднократно йонизирания хелий $\mathrm{He}^+$ (Z = 2) съвпадат с линиите от Балмеровата серия ($j = 2$) на водорода. Изчислете дължината на вълната (в nm) на линиите от Балмеровата серия на водорода във видимата област и намерете кои преходи (за кои числа $i$ и $j$) $(i \to j)$ в $\mathrm{He}^+$ имат същите дължини на вълните. Резултатите представете в подходяща таблица. [3 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2017_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2017_11-12solutions.pdf