НПСФ 2017, Специална тема — Задача 1. Спътник

Национално пролетно състезание по физика, 11 – 12 март 2017 г., Вършец — Специална тема · 11 март 2017 г. · 10 т.

Условие

Кълбовиден спътник има маса $m = 100$ kg и радиус $R_\mathrm{С} = 0{,}5$ m. Спътникът се движи приблизително по кръгова орбита на височина $H = 200$ km над морското равнище. Разредената земна атмосфера оказва върху спътника сила на съпротивление като в подточка б), с коефициент $k = 0{,}6$. Числените стойности на константите, които ще са ви необходими, са дадени по-долу.

• $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + \mathrm{const}$; $\int \frac{dx}{(c_1x+c_2)^2} = -\frac{1}{c_1(c_1x+c_2)} + \mathrm{const}$; $c_1, c_2$ – произволни константи
• Числени стойности на физични константи: $T = 288$ K; $\mu = 29{,}0$ g/mol; $p_0 = 101$ kPa; $R = 8{,}31$ J/mol.K; $g = 9{,}81$ m/s$^2$; $R_\mathrm{З} = 6{,}37 \cdot 10^{6}$ m.

а) Намерете налягането на въздуха $p(h)$ като функция на височината над морското равнище. Може да приемете, че температурата на въздуха $T$ не се променя. Моларната маса на въздуха е $\mu$. Налягането на морското равнище е $p_0$. Универсалната газова константа е $R$. Земното ускорение на морското равнище е $g$. Радиусът на Земята е $R_\mathrm{З}$. [2,5 т.]

б) Големината на силата на съпротивление, която действа на някакъв обект при неговото движение в атмосферата, е от вида $F_{\mathrm{съпр}} = k\rho^a S^b v^c$, където $k$ е безразмерен коефициент, $\rho$ е плътността на въздуха на съответната височина над морското равнище, $S$ е лицето на максималното напречно сечение на обекта, а $v$ е големината на скоростта, с която той се движи. Чрез анализ на размерностите намерете неизвестните степени $a$, $b$ и $c$. [1 т.]

в) Определете периода $\tau$, за който спътникът прави една пълна обиколка по своята орбита около Земята. [0,8 т.]

г) Намерете мощността $P$, която силата на съпротивление оказва върху спътника. За определяне на съответната плътност на въздуха използвайте формулата, която сте получили в подточка а). [0,7 т.]

д) Силата на съпротивление принуждава спътника да се движи по спиралообразна крива. Въпреки това моментното му движение може да се апроксимира достатъчно добре като движение по окръжност с бавно намаляващ радиус $r(t) = R_\mathrm{З} + h(t)$. Изразете пълната механична енергия на спътника чрез масата му $m$ и неговата моментна големина на скоростта $v(t)$. Като използвате израза за мощността на силата на съпротивление, получен в подточка г), намерете $\dot v$ (големината на тангенциалното ускорение на спътника). Намалява или расте големината на скоростта на спътника? [1,5 т.]

е) Като използвате израза за $\dot v$, получен в подточка д), определете ъгловото ускорение $\varepsilon$ на сателита. [2,5 т.]

ж) Оценете изменението $\Delta h$ (спрямо първоначалната височина $H$) на височината на спътника над морската повърхност, породено от силата на съпротивление за време $\tau$ (една обиколка на спътника около Земята). [1 т.]

Отговори

Решение

Оригинал в Архива: proletni_2017_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2017_STsolutions.pdf