Съдържание

НПСФ 2017, Специална тема — Задача 1. Спътник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2017

Национално пролетно състезание по физика, 11 – 12 март 2017 г., Вършец — Специална тема · 11 март 2017 г. · 10 т.

Условие

а) Намерете налягането на въздуха $p(h)$ като функция на височината над морското равнище. Може да приемете, че температурата на въздуха $T$ не се променя. Моларната маса на въздуха е $\mu$ . Налягането на морското равнище е $p_0$ . Универсалната газова константа е $R$ . Земното ускорение на морското равнище е $g$ . Радиусът на Земята е $R_\mathrm{З}$ . [2,5 т.]

б) Големината на силата на съпротивление, която действа на някакъв обект при неговото движение в атмосферата, е от вида $F_{\mathrm{съпр}} = k\rho^a S^b v^c$ , където $k$ е безразмерен коефициент, $\rho$ е плътността на въздуха на съответната височина над морското равнище, $S$ е лицето на максималното напречно сечение на обекта, а $v$ е големината на скоростта, с която той се движи. Чрез анализ на размерностите намерете неизвестните степени $a$ , $b$ и $c$ . [1 т.]

Кълбовиден спътник има маса $m = 100$ kg и радиус $R_\mathrm{С} = 0{,}5$ m. Спътникът се движи приблизително по кръгова орбита на височина $H = 200$ km над морското равнище. Разредената земна атмосфера оказва върху спътника сила на съпротивление като в подточка б), с коефициент $k = 0{,}6$ . Числените стойности на константите, които ще са ви необходими, са дадени по-долу.

в) Определете периода $\tau$ , за който спътникът прави една пълна обиколка по своята орбита около Земята. [0,8 т.]

г) Намерете мощността $P$ , която силата на съпротивление оказва върху спътника. За определяне на съответната плътност на въздуха използвайте формулата, която сте получили в подточка а). [0,7 т.]

д) Силата на съпротивление принуждава спътника да се движи по спиралообразна крива. Въпреки това моментното му движение може да се апроксимира достатъчно добре като движение по окръжност с бавно намаляващ радиус $r(t) = R_\mathrm{З} + h(t)$ . Изразете пълната механична енергия на спътника чрез масата му $m$ и неговата моментна големина на скоростта $v(t)$ . Като използвате израза за мощността на силата на съпротивление, получен в подточка г), намерете $\dot v$ (големината на тангенциалното ускорение на спътника). Намалява или расте големината на скоростта на спътника? [1,5 т.]

е) Като използвате израза за $\dot v$ , получен в подточка д), определете ъгловото ускорение $\varepsilon$ на сателита. [2,5 т.]

ж) Оценете изменението $\Delta h$ (спрямо първоначалната височина $H$ ) на височината на спътника над морската повърхност, породено от силата на съпротивление за време $\tau$ (една обиколка на спътника около Земята). [1 т.]

$\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + \mathrm{const}$ ; $\int \frac{dx}{(c_1x+c_2)^2} = -\frac{1}{c_1(c_1x+c_2)} + \mathrm{const}$ ; $c_1, c_2$ – произволни константи
Числени стойности на физични константи: $T = 288$ K; $\mu = 29{,}0$ g/mol; $p_0 = 101$ kPa; $R = 8{,}31$ J/mol.K; $g = 9{,}81$ m/s $^2$ ; $R_\mathrm{З} = 6{,}37 \cdot 10^{6}$ m.

Решение

а)

Разглеждаме условието за равновесие на много тънък сферичен слой от атмосферата, който се намира на височина $h$ над морското равнище: $dp = -\frac{GM_\mathrm{З}\rho(h)dh}{(R_\mathrm{З}+h)^2} = -\frac{gR_\mathrm{З}^2\rho(h)dh}{(R_\mathrm{З}+h)^2}$ , [0,5 т.] като минусовият знак отчита спадането на налягането с нарастване на височината. Използваме закона на Клапейрон–Менделеев за 1 mol въздушни молекули: $pV = RT \Rightarrow p = nRT = \frac{\rho RT}{\mu}$ , [0,5 т.] където сме използвали също така, че моларната концентрация на въздушните молекули е $n = \frac{1\ \mathrm{mol}}{V} = \frac{m_\mathrm{в}}{\mu V} = \frac{\rho}{\mu}$ . Така се получава, че $\frac{dp}{p} = -\frac{\mu g R_\mathrm{З}^2\,dh}{RT(R_\mathrm{З}+h)^2}$ . Интегрираме двете страни и намираме, че $\ln(p) = \frac{\mu g R_\mathrm{З}^2}{RT(R_\mathrm{З}+h)} + \mathrm{const}$ . [0,5 т.] За да определим интеграционната константа, използваме, че $p(0) = p_0$ , откъдето $\ln(p_0) = \frac{\mu g R_\mathrm{З}}{RT} + \mathrm{const} \Rightarrow \ln\left(\frac{p}{p_0}\right) = -\frac{\mu g R_\mathrm{З} h}{RT(R_\mathrm{З}+h)}$ . [0,5 т.] Оттук $p(h) = p_0 \exp\left(-\frac{\mu g R_\mathrm{З} h}{RT(R_\mathrm{З}+h)}\right)$ . [0,5 т.]

б)

Използваме, че $[F_{\mathrm{съпр}}] = \mathrm{N} = \mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-2}} = [\rho^a S^b v^c] = \mathrm{kg}^a\cdot \mathrm{m}^{-3a}\cdot \mathrm{m}^{2b}\cdot \mathrm{m}^{c}\cdot \mathrm{s}^{-c}$ . [0,3 т.] Получаваме три уравнения за трите неизвестни степени: $a = 1$ , $-3a + 2b + c = 1$ и $-c = -2$ . [0,3 т.] Следователно $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 2$ . [0,4 т.]

в)

Използваме, че в случая гравитационната сила изпълнява ролята на центростремителна сила при движението на спътника по окръжност: $\frac{GmM_\mathrm{З}}{r^2} = \frac{mgR_\mathrm{З}^2}{r^2} = m\omega^2 r$ , [0,3 т.] откъдето $\tau = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi(R_\mathrm{З}+H)}{R_\mathrm{З}}\sqrt{\frac{R_\mathrm{З}+H}{g}} = 88$ min. [0,5 т.]

г)

Мощността на сила $\vec F$ е $P = \vec F\cdot\vec v$ . [0,2 т.] В случая имаме сила на съпротивление с големина $F_{\mathrm{съпр}} = k\rho S v^2$ и посока, обратна на посоката на скоростта на спътника, така че $P = -k\rho S v^3 = -\frac{k\pi\mu p(H)R_\mathrm{С}^2R_\mathrm{З}^3}{RT}\left(\frac{g}{R_\mathrm{З}+H}\right)^{\frac{3}{2}} = -27$ W. [0,5 т.]

д)

Пълната механична енергия $E = \frac{mv^2}{2} - \frac{GmM_\mathrm{З}}{r} = \frac{mv^2}{2} - mv^2 = -\frac{mv^2}{2}$ . [0,3 т.] Диференцираме по времето: $\dot E = -mv\dot v = P = -k\rho S v^3$ , [0,5 т.] откъдето $\dot v = \frac{k\rho S v^2}{m} = \frac{k\pi\mu p(H) g R_\mathrm{С}^2R_\mathrm{З}^2}{mRT(R_\mathrm{З}+H)} = 3{,}4\cdot 10^{-5}$ m/s $^2$ . [0,5 т.] Знакът на $\dot v$ е положителен, така че големината на скоростта расте. [0,2 т.]

е)

Ъгловото ускорение е $\varepsilon = \dot\omega$ . За да го намерим, ще използваме полученото в подточка в): $\omega^2 r^3 = \mathrm{const}$ (алтернативно може да се използва третия закон на Кеплер, който дава същото съотношение; още едно възможно решение се получава, като се разгледа уравнението за промяната на момента на импулса вследствие на силата на съпротивление). [0,5 т.] Логаритмуваме равенството и след това диференцираме по времето, което води до: $\frac{2\dot\omega}{\omega} + \frac{3\dot r}{r} = 0$ . [0,5 т.] Спътникът извършва приблизително равномерно движение по окръжност, откъдето $v = \omega r$ , [0,3 т.] така че $\dot v = \dot\omega r + \omega\dot r = \frac{k\rho S v^2}{m}$ . [0,5 т.] Като използваме от по-горе, че $\dot r = -\frac{2r\dot\omega}{3\omega}$ , получаваме: $\frac{\dot\omega r}{3} = \frac{k\rho S v^2}{m}$ , [0,2 т.] т.е. $\varepsilon = \frac{3k\rho S v^2}{mr} = \frac{3k\pi\mu p(H) g R_\mathrm{С}^2R_\mathrm{З}^2}{mRT(R_\mathrm{З}+H)^2} = 1{,}6\cdot 10^{-11}$ rad/s $^2$ . [0,5 т.]

ж)

Тъй като спътникът пада към повърхността на Земята сравнително бавно, $\Delta h \approx \dot r\tau$ , [0,5 т.] откъдето $\Delta h \approx -\frac{4\pi r\varepsilon}{3\omega^2} = -\frac{4k\pi^2\mu p(H)R_\mathrm{С}^2(R_\mathrm{З}+H)^2}{mRT} = -305$ m. [0,5 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2017_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2017_STsolutions.pdf