Съдържание

НПСФ 2017, Специална тема — Задача 2. Модел на Друде, закон на Ом и ефект на Хол

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2017

Национално пролетно състезание по физика, 11 – 12 март 2017 г., Вършец — Специална тема · 11 март 2017 г. · 10 т.

Условие

Проводникът, електроните и магнитното поле.

Моделът на Друде дава просто и сравнително добро описание на движението на свободните електрони в проводници при постоянно външно напрежение $U$ между двата края на проводника. Всеки електрон се разглежда като класическа частица със заряд $-e$ , на която действа сила на съпротивление, пропорционална на скоростта на електрона: $\vec F_{\mathrm{съпр}} = -\gamma\vec v$ , където $\gamma$ е положителна величина, която характеризира взаимодействието между електрона и решетката от положителни йони. Разглеждаме меден проводник с дължина $\ell$ и правоъгълно напречно сечение с размери $a$ и $d$ , както е показано на фигурата. Плътността на медта е $\rho$ , а моларната ѝ маса е $\mu$ . Числото на Авогадро е $N_\mathrm{A}$ . Първоначално върху проводника не е приложено външно магнитно поле.

а) Намерете големината на постоянната дрейфова скорост $v_\mathrm{d}$ , с която се движат електроните, след като е изминало достатъчно дълго време от затварянето на веригата. [2,5 т.]

б) Броят на свободните електрони в проводника е равен на броя медни йони. На колко е равна големината на електричния ток $I$ , който протича между двата края на проводника под действие на приложеното напрежение? Определете съответното електрично съпротивление $R$ на проводника в модела на Друде. [3 т.]

в) Нека да приложим постоянно външно магнитно поле $\vec B$ , което е ориентирано напречно на дължината на проводника, както е показано на фигурата. Под действие на магнитното поле се индуцират заряди върху две срещуположни околни стени на проводника (ефект на Хол). Коя стена се зарежда положително? Намерете Холовото напрежение $U_\mathrm{H}$ , което се създава между двете заредени околни стени. [2,5 т.]

г) Намерете колко е общият индуциран заряд $Q$ върху положително заредената околна стена на проводника. Може да пренебрегнете ефектите, които произтичат от крайната дължина на проводника. Диелектричната проницаемост на вакуума е $\varepsilon_0$ . [2 т.]

Решение

а)

Уравнението на Нютон за движението на електроните по дължината на проводника е: $m_e\ddot z = eE - \gamma\dot z$ , [1 т.] където $m_e$ е масата на електрона, а $E = U/\ell$ [0,5 т.] е големината на електричното поле, което се създава от напрежението между краищата на проводника. След затварянето на веригата скоростта на електроните расте, докато големините на електростатичната сила и силата на съпротивление се изравнят. [0,5 т.] При това положение големината на дрейфовата скорост на електроните става $v_\mathrm{d} = \frac{eE}{\gamma} = \frac{eU}{\gamma\ell}$ . [0,5 т.]

б)

Големината на тока през проводника е $I = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{e\Delta N}{\Delta t}$ , [0,5 т.] където $\Delta q$ е зарядът, който преминава през напречното сечение на проводника, а $\Delta N$ е съответният брой електрони. Използваме, че моларната концентрация на електроните е $n = \frac{N}{N_\mathrm{A}V} = \frac{m}{\mu V} = \frac{\rho}{\mu}$ . [0,5 т.] Следователно $I = \frac{en N_\mathrm{A}\Delta V}{\Delta t} = \frac{eN_\mathrm{A}\rho a d\Delta z}{\mu\Delta t} = \frac{eN_\mathrm{A}\rho a d v_\mathrm{d}}{\mu} = \frac{e^2 N_\mathrm{A}\rho a d U}{\mu\gamma\ell}$ . [1,5 т.] Съпротивлението $R = \frac{U}{I} = \frac{\mu\gamma\ell}{e^2 N_\mathrm{A}\rho a d}$ . [0,5 т.]

в)

Като се използва израза за магнитната сила $\vec F_B = -e\vec v_\mathrm{d}\times\vec B$ , [0,5 т.] която действа на електроните, и правилото на дясната ръка за намиране на посоката на векторното произведение, може да се съобрази, че на горната стена на проводника се натрупват електрони, т.е. върху долната стена остава некомпенсиран положителен заряд. [0,5 т.] Преразпределението на заряди продължава, докато възникналата при това електростатична сила не уравновеси магнитната сила: $eE_\mathrm{H} = ev_\mathrm{d}B$ . [1 т.] Оттук $U_\mathrm{H} = E_\mathrm{H}d = dv_\mathrm{d}B = \frac{edBU}{\gamma\ell}$ . [0,5 т.]

г)

Общият заряд е като заряда на плосък кондензатор във вакуум, който е с напрежение между клемите $U_\mathrm{H}$ , [1 т.] т.е. зарядът е $Q = \frac{\varepsilon_0 a\ell U_\mathrm{H}}{d} = \frac{\varepsilon_0 a e B U}{\gamma}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2017_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2017_STsolutions.pdf