Съдържание

НПСФ 2018, 10. клас — Задача 2. Бутала в цилиндър

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2018

Национално пролетно състезание по физика 2018, тема за 10. клас (четвърта състезателна група) · 9 март 2018 г. · 10 т.

Условие

Масите и дебелините на буталата са пренебрежимо малки и в двете части на задачата.

Упътване: връзката между налягането $p$ , обема $V$ и абсолютната температура $T$ , на $n$ мола идеален газ се дава с така нареченото уравнение на състоянието на идеален газ: $pV = nRT$ , където $R = 8{,}314\ \mathrm{J/mol\,K}$ е универсалната газова константа.

2.1. Затворен цилиндър с дължина $2L$ е разделен на две равни части от подвижно бутало с площ $S$ . В началния момент двете половини на цилиндъра са запълнени с различни газове, така че налягането $p$ от двете страни на буталото е еднакво (виж Фигура 2.1). На какво разстояние $x$ ще се премести буталото, ако само газът от лявата половина може свободно да преминава през буталото? Силата на триене между буталото и стените на съда е $F$ , температурата и на двата газа остава постоянна през цялото време. Разгледайте възможните случаи в зависимост от големината на силата $F$ . (5 т.)

Правоъгълен цилиндър, разделен по средата от щрихован бутален диск, със стрелки за x отгоре и за L отляво и отдясно. — Фигура 2.1: затворен цилиндър с дължина $2L$ , разделен от подвижно бутало; налягането от двете страни е $p$ , а буталото се измества на разстояние $x$ .

2.2. Цилиндър е разделен на две части от две подвижни бутала, както е показано на Фигура 2.2. Всяка от двете части е запълнена с един и същ газ, като отношението на масите на газа от лявата и дясната части е $\dfrac{m_1}{m_2} = 3$ . В началния момент буталата са неподвижни и температурата на газа в двете части е една и съща. Дясното бутало се премества на разстояние $d$ , след което буталата отново са неподвижни и температурата на газа в двете части е една и съща. На какво разстояние $x$ ще се е преместило лявото бутало? Триенето между буталата и стените на цилиндъра се пренебрегва. (5 т.)

Цилиндър с два щриховани бутала, областите m1 и m2, и стрелка d, отбелязваща изместването на дясното бутало. — Фигура 2.2: цилиндър с две подвижни бутала; лявата част съдържа газ с маса $m_1$ , дясната — с маса $m_2$ , а дясното бутало се измества на разстояние $d$ .

Отговори

Решение

Решение: 2.1. Нека условно да наречем газа, който се намира в лявата част на цилиндъра – газ А, а този в дясната част – газ Б. Тъй като газ А може да преминава свободно през буталото, то той ще изпълни целия цилиндър, като налягането му от двете страни на буталото ще е едно и също. [1 т.] Тогава налягането от дясната страна на буталото ще е по-голямо. Нека вследствие на тази разлика в наляганията буталото се е преместило наляво на разстояние $x$ . Условието за равновесие на буталото ще е:

p'S = F, \qquad \textbf{[1 т.]}

където $p'$ е налягането на газ Б и се определя от условието $T = \mathrm{const}$ :

pV = \mathrm{const} \Rightarrow pLS = p'(L+x)S. \qquad \textbf{[1 т.]}

От последните две уравнения, за преместването $x$ получаваме:

x = \begin{cases} 0, & \text{ако } F \geq pS; \\ \left(pS/F - 1\right)L, & \text{ако } pS/2 < F < pS; \\ L, & \text{ако } F \leq pS/2. \end{cases} \qquad \textbf{[2 т.]}

Решение: 2.2. Нека преди буталото да бъде преместено, обемът на газа с маса $m_1$ е $V_1 = Sl_1$ , съответно този на газа с маса $m_2$ е $V_2 = Sl_2$ . Като отчетем, че температурата на двата газа е една и съща, както и налягането им, [1 т.] и $pV = nRT = (m/\mu)RT$ , то може да получим:

\frac{V_1}{V_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Подобно съотношение ще е изпълнено и след като дясното бутало се премести на разстояние $d$ , а лявото на разстояние $x$ , защото налягането и температурата на газа от двете страни на лявото бутало отново са равни [1 т.]:

\frac{V_1'}{V_2'} = \frac{l_1+x}{l_2+d-x} = \frac{m_1}{m_2}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Приравняваме горните две равенства и получаваме:

\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_1+x}{l_2+d-x},

откъдето за преместването $x$ се получава $x = \frac{3}{4}d$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2018_10problems.pdf · официални решения: proletni_2018_10solutions.pdf