НПСФ 2018, 11–12 клас — Задача 1. Прехвърляне на стена

• а) $x_{\min} = \frac{d\left[gd^2 + h\left(v_0^2 - \sqrt{v_0^4 - g(2hv_0^2 + gd^2)}\right)\right]}{g(d^2 + h^2)} \approx 31\ \mathrm{m},\qquad x_{\max} = \frac{d\left[gd^2 + h\left(v_0^2 + \sqrt{v_0^4 - g(2hv_0^2 + gd^2)}\right)\right]}{g(d^2 + h^2)} \approx 61\ \mathrm{m}$

  Толеранс ±0,5 m за всяка от двете стойности.

• б) $d_{\max} = \frac{v_0}{g}\sqrt{v_0^2 - 2gh} \approx 41\ \mathrm{m},\qquad \alpha_{d\max} = \mathrm{arctg}\left(\frac{v_0^2}{g\,d_{\max}}\right) = \mathrm{arctg}\left(v_0/\sqrt{v_0^2 - 2gh}\right) \approx 57^\circ$

  Толеранс ±0,5 m за $d_{\max}$ и ±1° за $\alpha_{d\max}$.

а) В координатната система на фигурата вляво законът за движение на снаряда е: $x(t) = v_0\cos\alpha\,t$, $y(t) = v_0\sin\alpha\,t - \frac{gt^2}{2}$, където $t$ е изминалото време от изстрелването на снаряда. [1 т.] Търсените разстояния се определят от траектории, които минават точно над ръба на стената, т.е. снарядът трябва да прелети през точката с координати $(d, h)$. [0,5 т.] Това условие води до следните две уравнения: $v_0\cos\alpha\,t = d$ и $v_0\sin\alpha\,t - \frac{gt^2}{2} = h$. [0,5 т.] Като изключим $t$ от уравненията, получаваме уравнение за ъглите на изстрелване на снаряда, при които той минава точно над ръба: $d\,\mathrm{tg}\,\alpha - \frac{gd^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} = d\,\mathrm{tg}\,\alpha - \frac{gd^2}{2v_0^2}\left(1 + \mathrm{tg}^2\alpha\right) = h$. [1 т.] Това е квадратно уравнение с корени $\mathrm{tg}\,\alpha_1 = \frac{v_0^2 + \sqrt{v_0^4 - g(2hv_0^2 + gd^2)}}{gd}$, $\mathrm{tg}\,\alpha_2 = \frac{v_0^2 - \sqrt{v_0^4 - g(2hv_0^2 + gd^2)}}{gd}$. [1 т.]

По-големият корен съответства на $x_{\min}$, а по-малкият – на $x_{\max}$. Търсените разстояния се намират, като знаем общото време на полета $t_{\mathrm{total}} = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$ и го заместим в $x(t)$, откъдето

[1,5 т.]

Аналогично

[1,5 т.]

б) С увеличаване на разстоянието между оръдието и стената съответното $x_{\min}$ нараства, тъй като снарядите трябва да се изстрелват под по-малки ъгли спрямо хоризонта. От друга страна съответното $x_{\max}$ намалява, тъй като оръдието се отдалечава от стената. По този начин $x_{\min}$ и $x_{\max}$ клонят към една обща стойност, която съответства на търсеното $d_{\max}$. [0,5 т.] Тъй като $x_{\min}$ и $x_{\max}$ се определят от ъгъла на изстрелване, който се получава като решение на квадратно уравнение, горното условие е еквивалентно на съществуването на двоен корен на квадратното уравнение, т.е. дискриминантата на уравнението трябва да е равна на нула: $v_0^4 - g\left(2hv_0^2 + gd_{\max}^2\right) = 0$. [0,5 т.] Оттук $d_{\max} = \frac{v_0}{g}\sqrt{v_0^2 - 2gh} \approx 41\ \mathrm{m}$. [1 т.] Съответното $\alpha_{d\max} = \mathrm{arctg}\left(\frac{v_0^2}{g d_{\max}}\right) = \mathrm{arctg}\left(v_0/\sqrt{v_0^2 - 2gh}\right) \approx 57^\circ$. [1 т.]