НПСФ 2018, 11–12 клас — Задача 2. Заряди върху окръжност

• а) $\theta_{\mathrm{eq}} = 2\arcsin\left(\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{kqQ}{mgR^2}}\right) = 60^\circ$
• б) $N_{\mathrm{eq}} = mg\cos\theta_{\mathrm{eq}} + \frac{kqQ}{4R^2\sin(\theta_{\mathrm{eq}}/2)} = \frac{1}{2}\left(mg + \frac{kqQ}{R^2}\right) = 0{,}5\ \mathrm{N}$
• в) $v_{\mathrm{eq}} = \sqrt{3gR - \frac{kqQ}{mR}} \approx 7{,}7\ \mathrm{m/s}$

а) На топчето действа сила на тежестта $G = mg$, насочена вертикално надолу. [0,5 т.] Нека да означим разстоянието между зарядите с $\ell = 2R\sin(\theta/2)$. [0,5 т.] Електричната сила, която действа на топчето, има големина $F_{\mathrm{ел}} = \frac{kqQ}{\ell^2} = \frac{kqQ}{4R^2\sin^2(\theta/2)}$ и посока, означена на фигурата вляво. [0,5 т.] За да бъде топчето в равновесие, трябва тангенциалните на окръжността компоненти на двете сили да са равни по големина: $G\sin\theta_{\mathrm{eq}} = mg\sin\theta_{\mathrm{eq}} = F_{\mathrm{ел}}\sin\varphi_{\mathrm{eq}} = \frac{kqQ\sin\varphi_{\mathrm{eq}}}{4R^2\sin^2(\theta_{\mathrm{eq}}/2)}$, където $\varphi_{\mathrm{eq}}$ е равновесната стойност на ъгъла $\varphi$, означен на чертежа по-горе. [1 т.] Центърът на окръжността и двата заряда образуват равнобедрен триъгълник, откъдето следва, че $\varphi = 90^\circ - \frac{\theta}{2}$, а оттук $\sin\varphi = \cos(\theta/2)$. [0,5 т.] По този начин горното равенство на тангенциалните компоненти придобива следния вид: $\sin^3\left(\theta_{\mathrm{eq}}/2\right) = \frac{kqQ}{8mgR^2}$. [0,5 т.] Окончателно $\theta_{\mathrm{eq}} = 2\arcsin\left(\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{kqQ}{mgR^2}}\right) = 60^\circ$. [1 т.]

б) Търсената големина на силата на реакция от страна на окръжността е $N_{\mathrm{eq}} = mg\cos\theta_{\mathrm{eq}} + \frac{kqQ\cos\varphi_{\mathrm{eq}}}{4R^2\sin^2(\theta_{\mathrm{eq}}/2)} = mg\cos\theta_{\mathrm{eq}} + \frac{kqQ}{4R^2\sin(\theta_{\mathrm{eq}}/2)} = \frac{1}{2}\left(mg + \frac{kqQ}{R^2}\right) = 0{,}5\ \mathrm{N}$. [2 т.]

в) Нека да отчитаме височината на издигане на топчето спрямо най-долната точка от окръжността, т.е. $h = R(1 - \cos\theta)$. [0,5 т.] Гравитационната потенциална енергия на топчето има големина $mgh = mgR(1 - \cos\theta)$. [0,5 т.] Кулоновата потенциална енергия на топчето е $\frac{kqQ}{\ell} = \frac{kqQ}{2R\sin(\theta/2)}$. [0,5 т.] От закона за запазване на пълната механична енергия следва, че $2mgR + \frac{kqQ}{2R} = \frac{mv_{\mathrm{eq}}^2}{2} + mgR\left(1 - \cos\theta_{\mathrm{eq}}\right) + \frac{kqQ}{2R\sin(\theta_{\mathrm{eq}}/2)} = \frac{mv_{\mathrm{eq}}^2}{2} + \frac{mgR}{2} + \frac{kqQ}{R}$, откъдето $v_{\mathrm{eq}} = \sqrt{3gR - \frac{kqQ}{mR}} \approx 7{,}7\ \mathrm{m/s}$. [2 т.]