НПСФ 2018, 11–12 клас — Задача 3. Електрическа верига

• а) $R_{\mathrm{AC}} = \frac{2R_1R_2}{R_1 + R_2} = 1{,}5\ \mathrm{k\Omega}$
• б) $R_{\mathrm{AB}} = \frac{R_1R_2(2R_1 + 3R_2)}{(R_1 + R_2)(R_1 + 3R_2)} \approx 0{,}83\ \mathrm{k\Omega}$
• в) $U_{\mathrm{CD}} = I_{\mathrm{CD}}R_2 = \frac{\mathcal{E}R_2}{2R_1 + 3R_2} \approx 1{,}6\ \mathrm{V}$

а) Дадената електрическа верига е симетрична спрямо отсечката BD и при подаване на напрежение между точките A и C няма да има напрежение между B и D. [0,5 т.] В такъв случай няма да протече ток през средния резистор (балансиран Уитстонов мост) и той може да бъде откачен от веригата. Получава се еквивалентната схема, показана на фигурата по-горе вдясно. [1 т.] Съпротивлението, което ще се измери между точките A и C, е равно на $R_{\mathrm{AC}} = \frac{2R_1R_2}{R_1 + R_2} = 1{,}5\ \mathrm{k\Omega}$. [1 т.]

б) В този случай веригата може да се представи като система от последователно и успоредно свързани резистори с еквивалентна схема, която е показана на фигурата вляво. [2 т.] Търсеното съпротивление е

[2 т.]

в) За да определим напрежението между точките C и D, трябва да намерим тока, който протича между двете точки. [0,5 т.] Общият ток, който протича през частта от веригата, оградена с пунктирана линия, е $I = \mathcal{E}\Big/\left(R_2 + \frac{R_2(R_1 + R_2)}{R_1 + 2R_2}\right)$. [1 т.] Търсеният ток $I_{\mathrm{CD}} = \frac{IR_2}{R_1 + 2R_2} = \frac{\mathcal{E}}{2R_1 + 3R_2}$. [1 т.] Окончателно получаваме $U_{\mathrm{CD}} = I_{\mathrm{CD}}R_2 = \frac{\mathcal{E}R_2}{2R_1 + 3R_2} \approx 1{,}6\ \mathrm{V}$. [1 т.]