НПСФ 2018, 7. клас — Задача 1. Движение

• а) $t_{\mathrm{самолет}} = \frac{10\ \mathrm{km}}{900\ \mathrm{km/h}} = 40\ \mathrm{s} < t_{\mathrm{МКС}} = \frac{400\ \mathrm{km}}{8\ \mathrm{km/s}} = 50\ \mathrm{s}$

  Времената за преминаване от зенита до посока под ъгъл 45°: 40 s за самолета срещу 50 s за МКС.

• б) Само скоро след като е мръкнало или малко преди да разсъмне – в полунощ МКС е в сянката на Земята и не се вижда.

• в) $s = \frac{(v_1-v_0)(v_1+v_0)t_0}{2v_0} = 300\ \mathrm{km}$

• г) $t_1 = \frac{s}{2v_1} = \frac{300\ \mathrm{km}}{2\cdot 15\ \mathrm{km/h}} = 10\ \mathrm{h}$

• д) $t_{\mathrm{В-Р}} = \frac{s}{v_1+v_0} = \frac{300\ \mathrm{km}}{18\ \mathrm{km/h}} = 16\tfrac{2}{3}\ \mathrm{h}$

• е) $t_{\mathrm{Р-В}} = \frac{s}{v_1-v_0} = \frac{300\ \mathrm{km}}{12\ \mathrm{km/h}} = 25\ \mathrm{h}$

I част

а) Нека разгледаме движението на двата обекта за времето, за което те ще се изместят от точката над нас (зенита) до точка, която виждаме под ъгъл 45°. Тъй като триъгълникът, образуван от точките „ние“, „зенит“ и „точка под ъгъл 45°“, е правоъгълен и равнобедрен, то изминатият път от обектите е равен на височината, на която се намират над нас. Тогава времето ще е равно на височината, разделена на скоростта. Така за самолета се получава $t_{\mathrm{самолет}} = \frac{10\ \mathrm{km}}{900\ \mathrm{km/h}} = 1/90$ h $= 2/3$ min $= 40$ s. [1 т.] За Международната космическа станция се получава $t_{\mathrm{МКС}} = \frac{400\ \mathrm{km}}{8\ \mathrm{km/s}} = 50$ s. [1 т.] Следователно, ще ни се струва, че самолетът се движи по-бързо от МКС. [1 т.]

б) Докато самолетът свети със собствена светлина (лампите, които мигат на крилата му), то МКС може да се види, само ако е огряна от Слънцето. [0,5 т.] Затова в полунощ не можем да я видим. Можем да я видим само скоро след като е мръкнало или малко преди да разсъмне (когато МКС не се намира в сянката на Земята). [0,5 т.]

II част

в) Времето $t_{\mathrm{Р-В}}$, за което тези кораби пътуват от Русе до Видин, е $t_{\mathrm{Р-В}} = \frac{s}{v_1-v_0}$. Времето $t_{\mathrm{В-Р}}$, за което тези кораби пътуват от Видин до Русе, е $t_{\mathrm{В-Р}} = \frac{s}{v_1+v_0}$. Разликата на тези времена е времето $t_0$: $\frac{s}{v_1-v_0} - \frac{s}{v_1+v_0} = t_0$. [0,5 т.] Преобразувайки равенството, се получава $s = \frac{(v_1-v_0)\cdot(v_1+v_0)t_0}{2v_0}$ [1 т.] $= \frac{\left(15\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}-3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right)\cdot\left(15\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}+3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right)\frac{25}{3}\,\mathrm{h}}{2\cdot 3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}} = 300$ km. [0,5 т.]

г) До момента на срещата единият кораб е изминал път $s_{\mathrm{В}}$, а другият – $s_{\mathrm{Р}}$. $s_{\mathrm{В}} + s_{\mathrm{Р}} = s$. Тъй като $s_{\mathrm{В}} = (v_1+v_0)t_1$ [0,3 т.], а $s_{\mathrm{Р}} = (v_1-v_0)t_1$ [0,3 т.], то $s = 2v_1t_1$, откъдето $t_1 = \frac{s}{2v_1}$ [0,4 т.] $= \frac{300\ \mathrm{km}}{2\cdot 15\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}} = 10$ h. [1 т.]

д) Времето $t_{\mathrm{В-Р}}$, за което тези кораби пътуват от Видин до Русе, е $t_{\mathrm{В-Р}} = \frac{s}{v_1+v_0}$ [0,5 т.] $= \frac{300\ \mathrm{km}}{18\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}} = 16\frac{2}{3}$ h. [0,5 т.]

е) Времето $t_{\mathrm{Р-В}}$, за което тези кораби пътуват от Русе до Видин, е $t_{\mathrm{Р-В}} = \frac{s}{v_1-v_0}$ [0,5 т.] $= \frac{300\ \mathrm{km}}{12\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}} = 25$ h. [0,5 т.]