Съдържание

НПСФ 2018, 7. клас — Задача 2. Електрическа схема с прекъсвачи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2018

Пролетно национално състезание по физика 2018, тема за 7. клас (първа състезателна група) · 9 март 2018 г. · 10 т.

Условие

Дадена е електрическа схема, съдържаща три резистора с неизвестни различни съпротивления $R_1$ , $R_2$ и $R_3$ и три прекъсвача $K_1$ , $K_2$ и $K_3$ (виж фигурата). Измерва се съпротивлението $R_{\mathrm{AB}}$ между точките A и B. Нека бележим отворен превключвател с “0”, а затворен – с „1“.

№	$K_1$	$K_2$	$K_3$	$R_{\mathrm{AB}}$
1	0	0	0	?
2	0	0	1	?
3	0	1	0	?
…	…	…	…	?

Електрическа схема: R1 последователно с R2 и R3; прекъсвач K1 шунтира R2, K2 е в дясното рамо на средния възел, K3 шунтира R1 и R2. — Веригата между точките A и B: резисторите $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ и прекъсвачите $K_1$ , $K_2$ , $K_3$ .

а) Направете таблица (как да изглежда е показано вляво), в която запишете какво съпротивление $R_{\mathrm{AB}}$ ще се измери за всички възможни комбинации от състоянията на трите превключвателя. [4 т.]

б) След като е измерено съпротивлението $R_{\mathrm{AB}}$ за всички възможни комбинации от състоянията на трите превключвателя, се оказало че омметърът е показал само 4 различни крайни стойности. Най-малката е била 50 $\Omega$ , най-голямата – 100 $\Omega$ , а една от междинните – 70 $\Omega$ . Изчислете стойностите на трите съпротивления $R_1$ , $R_2$ и $R_3$ . Разгледайте всички възможности. [5 т.]

в) Колко ома е показал омметърът за другата междинна стойност? [1 т.]

Отговори

Решение

а) Таблицата изглежда така (показана е по-долу). [4 т.] (За всяко правилно изчислено съпротивление $R_{\mathrm{AB}}$ за осемте възможности по [0,5 т.].)

№	$K_1$	$K_2$	$K_3$	$R_{\mathrm{AB}}$
1	0	0	0	$\infty$
2	0	0	1	$\infty$
3	0	1	0	$R_1 + R_2 + R_3$
4	1	0	0	$R_1 + R_3$
5	0	1	1	$R_3$
6	1	0	1	$\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2} + R_3$
7	1	1	0	$R_1 + R_3$
8	1	1	1	$R_3$

б) Сравнявайки съпротивлението $R_{\mathrm{AB}}$ за осемте възможности, се забелязва, че $R_3 < \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} + R_3 < R_1 + R_3 < R_1 + R_2 + R_3$ . [0,5 т.] Следователно $R_3 = 50\ \Omega$ , [0,5 т.] а $R_1 + R_2 + R_3 = 100\ \Omega$ . [0,5 т.] Нека допуснем, че по-голямата от двете междинни стойности е 70 $\Omega$ , т.е. $R_1 + R_3 = 70\ \Omega$ . Тогава получаваме, че $R_1 = 20\ \Omega$ , [1 т.] а $R_2 = 30\ \Omega$ [1 т.]. Нека проверим другата възможност, при която по-малката от двете междинни стойности $\frac{R_1R_2}{R_1+R_2} + R_3 = 70\ \Omega$ . Тъй като $R_3 = 50\ \Omega$ , тогава $\frac{R_1R_2}{R_1+R_2} = 20\ \Omega$ , а $R_1 + R_2 = 50\ \Omega$ . От първото равенство се вижда, че $R_1 > 20\ \Omega$ , $R_2 > 20\ \Omega$ . Но тогава от второто равенство следва, че $R_1 < 30\ \Omega$ , $R_2 < 30\ \Omega$ . От първото равенство можем също да получим, че $R_1R_2 = (R_1+R_2)\cdot 20\ \Omega = 1000\ \Omega^2$ . Последното, обаче, е невъзможно, понеже $R_1R_2 < 900\ \Omega^2$ . Следователно втората допусната възможност не може да се осъществи. Задачата има само едно решение. [1,5 т.]

в) За другата междинна стойност омметърът е показал $R_{\mathrm{AB}} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} + R_3 = \frac{20\ \Omega\cdot 30\ \Omega}{20\ \Omega+30\ \Omega} + 50\ \Omega = 62\ \Omega$ [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2018_7problems.pdf · официални решения: proletni_2018_7solutions.pdf