Съдържание

НПСФ 2018, 9. клас — Задача 1. Зареждане на кондензатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2018

Пролетно национално състезание по физика 2018, тема за 9. клас (трета състезателна група) · 9 март 2018 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 1 е показана електрическа схема за зареждане и презареждане на кондензатори. Те имат равни капацитети – $C_1 = C_2 = C$ , а източниците на напрежение са с ЕДН съответно $\mathrm{E}_1$ и $\mathrm{E}_2$ .

Електрическа схема: горен клон с кондензатор $C_1$ и източник $\mathrm{E}_1$; среден клон с кондензатор $C_2$ и резистор $R_1$; долен клон с резистор $R_2$, източник $\mathrm{E}_2$ и ключ $K$; трите клона са свързани успоредно между двата вертикални проводника. — Фиг. 1

а) Намерете общия заряд на кондензаторите при отворен ключ $K$ . [1,5 т.]

б) Определете крайния заряд на всеки кондензатор след затварянето на ключа $K$ . [1,5 т.]

в) Определете преминалия заряд през всеки източник след затваряне на ключа $K$ . [2,5 т.]

г) Какво количество топлина се е отделило във веригата след затваряне на ключа $K$ ? [4,5 т.]

Отговори

Решение

а) При отворен ключ $K$ кондензаторите са свързани последователно и са заредени от източника с напрежение $\mathrm{E}_1$ [0,5 т.]. Тъй като еквивалентният им капацитет е

C_0 = \frac{C_1C_2}{C_1+C_2} = \frac{C}{2}, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

за заряда му $q_0$ намираме

q_0 = C_0\mathrm{E}_1 = \frac{C}{2}\mathrm{E}_1. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Възможен е и друг вариант на решение: При последователно свързване зарядът на всеки кондензатор и на батерията е един и същ, равен на $q_0$ . От друга страна напреженията върху кондензаторите дават $U_1 + U_2 = 2U_0 = \mathrm{E}_1$ , при което имаме $q_0 = CU_0 = \dfrac{C}{2}\mathrm{E}_1$ .

б) При затворен ключ $K$ стационарното разпределение на заряда се достига при изравняване на напреженията на успоредните участъци. Така имаме

\frac{q_1}{C_1} + \mathrm{E}_1 = \mathrm{E}_2, \qquad \frac{q_2}{C_2} = \mathrm{E}_2, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

откъдето следва

q_1 = C_1(\mathrm{E}_2 - \mathrm{E}_1) = C(\mathrm{E}_2 - \mathrm{E}_1), \qquad q_2 = C_2\mathrm{E}_2 = C\mathrm{E}_2. \qquad \textbf{[1 т.]}

в) Преди затваряне на ключа $K$ общият заряд на левите електроди на двата кондензатора е равен на нула [0,5 т.], защото те са свързани последователно. След затварянето на ключа $K$ общият заряд на тези два електрода става

q = q_1 + q_2 = C(2\mathrm{E}_2 - \mathrm{E}_1). \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Това е зарядът, преминал през източника 2, след затварянето на ключа $K$ .

Зарядът на десния електрод на кондензатора 1 първоначално е $q_0$ [0,5 т.], а след затварянето на ключа $K$ става равен на $-q_1$ [0,5 т.]. Следователно преминалия заряд през източника на напрежение 1 е

q' = -q_1 - q_0 = C\!\left(\frac{\mathrm{E}_1}{2} - \mathrm{E}_2\right). \qquad \textbf{[0,5 т.]}

г) Началната енергия на кондензаторите (преди затварянето на ключа $K$ ) е

W_1 = \frac{1}{2}\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\mathrm{E}_1^2 = \frac{1}{4}C\mathrm{E}_1^2, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

а енергията им след затварянето на ключа $K$ е

W_2 = \frac{1}{2}C_1(\mathrm{E}_2 - \mathrm{E}_1)^2 + \frac{1}{2}C_2\mathrm{E}_2^2 = \frac{1}{2}C(\mathrm{E}_1^2 - 2\mathrm{E}_1\mathrm{E}_2 + 2\mathrm{E}_2^2). \qquad \textbf{[1 т.]}

Тогава от закона за запазване на енергията (първи принцип на термодинамиката)

W_2 - W_1 = (A_1 + A_2) + Q, \qquad \textbf{[1 т.]}

където $A = A_1 + A_2$ е работата, извършена от източниците за пренасяне на зарядите, а $Q$ – обменената с околната среда топлина. Работата се дава с изразите

A_1 = q'\mathrm{E}_1, \qquad A_2 = q\mathrm{E}_2, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

при което за търсената топлина получаваме

Q = W_2 - W_1 - (A_1 + A_2) = -\frac{1}{4}C(\mathrm{E}_1 - 2\mathrm{E}_2)^2. \qquad \textbf{[1 т.]}

Знакът „минус“ показва, че при презареждането на кондензаторите се отделя количество топлина $|Q|$ [0,5 т.].

Оригинал в Архива: proletni_2018_9problems.pdf · официални решения: proletni_2018_9solutions.pdf