Съдържание

НПСФ 2018, 9. клас — Задача 3. Мощност на електричния ток

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2018

Пролетно национално състезание по физика 2018, тема за 9. клас (трета състезателна група) · 9 март 2018 г. · 10 т.

Условие

В електрическата схема на фиг. 3 резисторите имат съпротивления съответно $R_1 = 100\ \Omega$ и $R_2 = 150\ \Omega$ . Определете:

Електрическа схема: два контура с общ среден клон, съдържащ резистор $R$; в левия контур резистор $R_1$ и източник $\mathrm{E}_1$, в десния — резистор $R_2$ и източник $\mathrm{E}_2$. — Фиг. 3

а) При какво условие токът през резистора със съпротивление $R$ е равен на нула? [6 т.]

б) При каква стойност на съпротивлението $R$ мощността на тока в този резистор е максимална? [4 т.]

Отговори

Решение

а) На фиг. 1 са показани токовете, които текат през резисторите, означени съответно с $I_1, I_2, I$ . Тъй като в схемата не се натрупва електричен заряд, от закона за запазването му следва

I_1 = I_2 + I. \qquad \textbf{[1 т.]}

Освен това можем да запишем изрази за напрежението между краищата на съпротивленията:

\mathrm{E}_1 = I_1R_1 + IR, \quad \textbf{[1 т.]} \qquad\qquad \mathrm{E}_2 = I_2R_2 - IR. \quad \textbf{[1 т.]}

От третото равенство изразяваме тока $I_2$ , при което получаваме

I_2 = \frac{1}{R_2}(\mathrm{E}_2 + IR). \qquad \textbf{[1 т.]}

След това заместваме $I_1$ и $I_2$ във второто равенство

\mathrm{E}_1 = I(R_1 + R) + \frac{R_1}{R_2}(\mathrm{E}_2 + IR), \qquad \textbf{[1 т.]}

откъдето намираме

I = \frac{\mathrm{E}_1R_2 - \mathrm{E}_2R_1}{R(R_1 + R_2) + R_1R_2}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Токът ще е равен на нула, когато е изпълнено условието

\frac{\mathrm{E}_1}{\mathrm{E}_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3}. \qquad \textbf{[1 т.]}

б) Мощността на тока $I$ се дава с израза

P = I^2R = \frac{(\mathrm{E}_1R_2 - \mathrm{E}_2R_1)^2}{(R_1 + R_2)^2} \times \frac{R}{(R + R_0)^2}, \qquad \textbf{[1 т.]}

чиято максимална стойност в зависимост от $R$ се определя от максималната стойност на

\alpha = \frac{R}{(R + R_0)^2}, \qquad R_0 = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Възможните стойности на $R$ при дадено $\alpha$ са корени на квадратното уравнение

\alpha R^2 + (2\alpha R_0 - 1)R + \alpha R_0^2 = 0, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

при условие че $1 - 4\alpha R_0 \geq 0$ . Тогава максималната възможна стойност на $\alpha$ е

\alpha_{\max} = \frac{1}{4R_0} \;\rightarrow\; R = R_0 = 60\,\Omega. \qquad \textbf{[1 т.]}

Същата схема като фиг. 3 от условието, с нанесени посоки на токовете: $I_1$ през $R_1$ наляво, $I_2$ през $R_2$ наляво и $I$ през $R$ нагоре. — Фиг. 1

Оригинал в Архива: proletni_2018_9problems.pdf · официални решения: proletni_2018_9solutions.pdf