НПСФ 2018, Специална тема — Задача 3. Топлина

Част 1

Планета с радиус $R$ е съставена от равномерно разпределен материал, който чрез радиоактивен разпад отделя енергия с мощност $P$. Това води до зависимост на температурата от положението в планетата, тъй като има пренос на топлина отвътре-навън.

Коефициентът на топлопроводимост е мярка за скоростта на преноса на топлина в резултат от температурна разлика. Да разгледаме тънка пластина с площ $S$ и дебелина $\Delta x$, едната повърхност на която е с температура $\Delta T$ по-висока от другата. Нека през пластината да преминава топлина $\Delta Q$ за време $\Delta t$. Коефициентът на топлопроводимост се дефинира като

Намерете:

а) температурата $T_S$ на повърхността на планетата; [1 т.]

б) температурната разлика $\Delta T$ между температурите в центъра и на повърхността на планетата. [4 т.]

Приемете, че

• $k$ не зависи от положението в планетата, т.е. $k$ е еднаква за цялата планета;
• температурата зависи само от координатите, но не и от времето;
• планетата излъчва като абсолютно черно тяло;
• върху планетата не попада енергия от друг източник.

Част 2

Оръдие с форма на цилиндър с площ на напречното сечение $S$ изстрелва снаряд. Непосредствено след взрива снарядът е в покой, обемът между затворения край на тръбата и снаряда е $V_0$, а налягането на газа в този обем е $P_0$. Атмосферното налягане е $P_{\mathrm{atm}}$, като $P_0 > P_{\mathrm{atm}}$. Газът в цилиндъра е двуатомен, т.е. $C_V = 5R/2$, а $C_p = 7R/2$. Дължината на оръдието може да се изменя.

Намерете:

в) максималната възможна кинетична енергия $E_{\max}$, с която снарядът може да напусне оръдието; [4 т.]

г) дължината на оръдието $L$ в този случай. [1 т.]

Приемете, че

• снарядът се движи в цилиндъра достатъчно бързо, така че газът не получава топлина;
• триенето между снаряда и цилиндъра е пренебрежимо;
• около снаряда не преминава газ;
• вдясно от снаряда налягането е винаги $P_{\mathrm{atm}}$.