Съдържание

НПСФ 2019, 10. клас — Задача 2. Земен радар

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2019

Национално пролетно състезание по физика 2019, тема за IV състезателна група (учебно съдържание за 10. клас) · 8 март 2019 г. · 10 т.

Условие

Земният радар е уред за откриване на метални предмети, заровени под земната повърхност (фиг. 2, а). Върху подвижна платформа са монтирани източник на кратки радиосигнали и приемник на отразените от металния предмет вълни. Можете да приемете, че източникът и приемникът имат пренебрежими размери, намират се практически в една точка и се допират до земната повърхност. Земните радари работят в честотния интервал от $10\ \mathrm{MHz}$ до $2{,}5\ \mathrm{GHz}$ , в който поглъщането на радиовълните от почвата е най-малко.

Снимка на човек, който бута земен радар по песъчлив терен; означени са приемникът и източникът. — Фиг. 2, а — земен радар в действие: източник и приемник на подвижна платформа.

В правоъгълен училищен двор трябва да бъде открит подземен кабел, успореден на две от срещуположните страни на двора. За целта от едната към другата страна на двора, перпендикулярно на кабела, се премества земен радар (фиг. 2, б), с който се регистрира времето $t$ между излъчването на радиосигнала и приемането на отразените от кабела вълни на различни разстояния $x$ от края на двора. На фиг. 2, в е дадена графика на зависимостта на $t$ от разстоянието $x$ .

Схема на правоъгълен блок почва: на горната повърхност радар на разстояние x от единия край, под него на дълбочина h – наклонен кабел. — Фиг. 2, б — радарът се премества на разстояние $x$ по повърхността; кабелът е на дълбочина $h$ .

Графика с минимум около x = 10 m и t = 8·10⁻⁸ s; кривата расте до около 21·10⁻⁸ s при x = 0 и до около 41·10⁻⁸ s при x = 30 m. — Фиг. 2, в — графика на зависимостта на времето $t$ (в $10^{-8}\ \mathrm{s}$ ) от разстоянието $x$ (в m).

а) Като използвате наличните данни, определете дълбочината $h$ , на която е заровен кабелът, и скоростта $u$ на радиовълните в почвата. [5 т.]

б) След като местоположението на кабела било установено, на разстояние $d = 50\ \mathrm{cm}$ от него на същата дълбочина $h$ бил заровен втори кабел. Оказало се, че когато радарът се намира вертикално над единия от двата кабела, приемникът не регистрира отразени вълни.

На какво явление се дължи дължи този факт? Дайте кратко обяснение.
Определете възможните честоти $\nu$ на радиовълната, при които радарът не регистрира отразените от кабелите вълни. [5 т.]

Отговори

Решение

Правоъгълник, изобразяващ разреза на двора; от точка A на горната страна вертикална отсечка h до точка C, и наклонена отсечка r от C до точка B на горната страна. — Геометрия към подточка а): радарът в т. $A(x_0)$ и в т. $B(x)$ , кабелът в т. $C$ на дълбочина $h$ , наклонено разстояние $r$ .

а) Когато радарът се намира в точка $B$ на разстояние $r$ от кабела $C$ , радиосигналът изминава общ път $s = 2r$ от излъчването до приемането и се движи време:

t = \frac{2r}{u}.

[0,5 т]

Сигналът изминава най-кратък път $s_0 = 2h$ , когато радарът се намира в т. $A$ , вертикално над кабела, т.е. на разстояние $x_0 = 10\ \mathrm{m}$ от края на двора. В този случай времето на разпространение е:

t_0 = \frac{2h}{u} = 8{,}0.10^{-8}\ \mathrm{s}.

[0,5 т]

Нека т. $B$ се намира на разстояние $x$ от края на двора. От Питагоровата теорема следва, че разстоянието от т. $B$ до кабела е:

r = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(x - x_0)^2 + h^2},

[1 т]

а съответното време за разпространение на сигнала за тази точка е:

t = \frac{2\sqrt{(x - x_0)^2 + h^2}}{u},

От получените съотношения следва, че:

\frac{t}{t_0} = \frac{\sqrt{(x - x_0)^2 + h^2}}{h} = \sqrt{\left(\frac{x - x_0}{h}\right)^2 + 1}.

[1 т]

Следователно, ако определим от графиката времето за разпространение $t$ за конкретна стойност на $x$ , можем да намерим дълбочината на кабела:

h = \frac{|x - x_0|t_0}{\sqrt{t^2 - t_0^2}} = \frac{|x - x_0|}{\sqrt{(t/t_0)^2 - 1}}.

[0,5 т]

Ако разгледаме например точка с координатата $x = 13\ \mathrm{m}$ , от графиката определяме времето за разпространение: $t = 10.10^{-8}\ \mathrm{s} = 10^{-7}\ \mathrm{s}$ . Тогава за дълбочината намираме:

h = \frac{3\ \mathrm{m}\,.\,8.10^{-8}\ \mathrm{s}}{6.10^{-8}\ \mathrm{s}} = 4{,}0\ \mathrm{m}.

[0,5 т]

За скоростта на радиовълните в почвата съответно намираме:

u = \frac{2h}{t_0} = \frac{2\,.\,4{,}0\ \mathrm{m}}{8{,}0\,.\,10^{-8}\ \mathrm{s}} = 1{,}0.10^8\ \mathrm{m/s}.

[0,5 т]

б) Вълните, отразени от двата кабела ( $C_1$ и $C_2$ ) са кохерентни, защото са породени от една и съща падаща вълна, излъчена в т. $A$ . Двете отразени вълни интерферират, като се усилват или гасят в дадена точка според разликата в пътищата, които изминават до нея. В случая приемникът не регистрира отразен сигнал, защото се намира в точка, съответстваща на интерференчен минимум. [1 т]

Правоъгълен разрез с точка A на горната страна, вертикална отсечка h до C₁ и хоризонтално разстояние d до C₂; отсечка от A до C₂. — Геометрия към подточка б): двата кабела $C_1$ и $C_2$ на разстояние $d$ и дълбочина $h$ , радарът в т. $A$ над $C_1$ .

Условието за интерференчен минимум е:

\Delta = s_2 - s_1 = (k + 1/2)\lambda; \qquad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots,

[1 т]

където $s_1$ и $s_2$ са пътищата, изминати от двете вълни от излъчвателя до съответния кабел и обратно до приемника. Както се вижда от фигурата:

s_1 = 2|C_1A| = 2h = 8\ \mathrm{m}

[0,5 т]

s_2 = 2|C_2A| = 2\sqrt{h^2 + d^2} \approx 8{,}062\ \mathrm{m}.

[0,5 т]

От друга страна дължината на вълната е свързана с търсената честота на вълната чрез съотношението:

\lambda = u/\nu.

[0,5 т]

От условието за интерференчен минимум намираме възможните стойности на честотата, при които се наблюдава минимум:

\nu = \frac{(2k + 1)u}{2(s_2 - s_1)} = (2k + 1) \times 8{,}06.10^8\ \mathrm{Hz}.

[1 т]

От условието знаем обаче, че $10^7\,\mathrm{Hz} \le \nu \le 2{,}5.10^9\ \mathrm{Hz}$ . Стойностите на $k$ , за които честотата попада в този интервал, са $k = 0$ и $k = 1$ . Следователно възможните стойности на честотата на радара са:

\nu_0 \approx 8{,}06.10^8\ \mathrm{Hz}\ (806\ \mathrm{MHz})\ \text{и}\ \nu_1 \approx 2{,}42.10^9\ \mathrm{Hz}\ (2{,}42\ \mathrm{GHz}).

[1 т]

За верни се приемат отговори, различаващи се до 5% от посочените.

Оригинал в Архива: proletni_2019_10problems.pdf · официални решения: proletni_2019_10solutions.pdf