НПСФ 2019, 11–12 клас — Задача 2. Електростатика

• а) $\varphi_2(a) = \frac{c_2\,\rho a^2}{\epsilon_0},\qquad c_2 = \frac{0.1894}{2} = 0.0947$
• б) $\varphi_3(a) = \frac{c_3\,\rho a^2}{\epsilon_0},\qquad c_3 = \frac{0.1894}{6} = 0.0316$
• в) $\varphi_4(a) = \frac{4c_3\,a\sigma}{\epsilon_0} = \frac{0.126\,a\sigma}{\epsilon_0}$
• г) $\varphi_5(a) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r},\qquad q = \rho a^3$

а) От съображения за размерност и от условието на задачата можем да запишем за потенциала: $\varphi_2(a) = \dfrac{c_2\,\rho a^2}{\epsilon_0}$ [1т.]. Куба със страна a можем да разглеждаме като съставен от осем кубчета със страна $a/2$, върхът на всеки от които лежи в центъра на големия куб. Така следва връзката $\varphi_1(a) = 8\varphi_2(a/2)$, т.е. $\dfrac{c_1\,\rho a^2}{\epsilon_0} = \dfrac{8c_2\,\rho (a/2)^2}{\epsilon_0}$ [1т.], откъдето $c_2 = \dfrac{0.1894}{2} = 0.0947$. [1т.]

б) Кубът със страна a се състои от шест пирамиди, описани в подточка [1т.] б). За потенциала на върха на пирамидата получаваме $\varphi_3(a) = \dfrac{c_3\,\rho a^2}{\epsilon_0}$ [1т.], където $c_3 = \dfrac{0.1894}{6} = 0.0316$ [1т.].

в) Ако от пирамида с квадратна основа със страна a и височина $a/2$ изрежем квадратна пластина със страна a и пренебрежима дебелина $\Delta z$, ще получим пирамида с квадратна основа със страна $a - 2\Delta z$ и височина $a/2 - \Delta z$ [1т.]. Следователно потенциалът на пластината е $\varphi_3(a) - \varphi_3(a - 2\Delta z) = \dfrac{c_3\,\rho\left(a^2 - (a - 2\Delta z)^2\right)}{\epsilon_0} \approx \dfrac{4c_3\,\rho a \Delta z}{\epsilon_0} = \dfrac{4c_3\,a\sigma}{\epsilon_0}$ [1т.], т.е. $\varphi_4(a) = \dfrac{0.126\,a\sigma}{\epsilon_0}$ [1т.].

г) На разстояние, много по-голямо от размера на куба, потенциалът е като от точков заряд: $\varphi_5(a) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r}$, където $q = \rho a^3$. [1т.]