Съдържание

НПСФ 2019, 11–12 клас — Задача 3. Сили, налягане и механично напрежение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2019

Национално пролетно състезание по физика 2019, тема за 11-12 клас · 8 март 2019 г. · 10 т.

Условие

В следващите три подточки се използва понятието механично напрежение, което е силата на опън за единица площ и се измерва в паскали.

Упътване: за малки ъгли приемете, че $\sin\theta \approx \theta$ и $\tan\theta \approx \theta$ .

а) Тяло е съставено от две долепени полусфери с радиус R. Равнината на контакт е обозначена с пунктир. Вътре налягането е P, а вън е $P_0$ , като $P_0 > P$ . Каква сила F трябва да се приложи, така че полусферите да се разделят. [2 т.]

Сфера, разделена с вертикален пунктир на две полусфери; вътре е отбелязано налягане P, вън P0, радиусът R, а две сили F са насочени навън наляво и надясно.

б) Тялото е поставено във вакуум, а полусферите са залепени със смола, която се скъсва при механично напрежение $\sigma$ . Намерете граничното вътрешно налягане P, при което полусферите ще се разделят. Дебелината на полусферите е d, като $d \ll R$ . [2 т.]

в) Тънък пръстен с маса m и радиус R се върти с ъглова скорост $\omega$ около ос, която минава през центъра му и е перпендикулярна на равнината на пръстена. Намерете механичното напрежение, ако напречното сечение на пръстена е S. [2 т.]

Тънък пръстен в план и отстрани; напречното му сечение S е показано увеличено като кръг вдясно.

г) Пръстенът се върти около ос, минаваща през негов диаметър. Намерете напрежението в точките от пръстена, лежащи на оста. [2 т.]

д) Намерете разстоянието между центъра на пръстена и центъра на масата на полупръстена. [2 т.]

Отговори

Решение

а) Силата F трябва да компенсира силите от страна на налягането: $F = (P_0 - P)\pi R^2$ . Налягането действа ефективно върху сечението на повърхността. [2т.]

б) Силата от страна на налягането е $F = P\pi R^2$ [0.5т.]. Тази сила се разпределя върху площ $S = 2\pi R d$ [0.5т.]. Така за граничното налягане получаваме $P = 2d\sigma/R$ [1т.].

в) Разглеждаме дъга от пръстена с малък ъгъл $\Delta\theta$ . На нея ѝ действат силите на опън T, които също сключват ъгъл $\Delta\theta$ . Сумата от двете сили е $2T\sin\Delta\theta/2 \approx T\Delta\theta$ [1т.], която е центростремителна сила: $T\Delta\theta = \Delta m\,\omega^2 R$ . Тъй като $\dfrac{\Delta\theta}{2\pi} = \dfrac{\Delta m}{m}$ , получаваме $T = \dfrac{m\omega^2 R}{2\pi}$ , а $\sigma = T/S$ . [1т.]

Дъга от пръстен, обхваната от централен ъгъл Δθ; в двата края действат допирателни сили T, всяка сключваща ъгъл Δθ/2 с общата допирателна. — Към подточка в): дъга от пръстена с малък ъгъл $\Delta\theta$ и силите на опън $T$ в двата ѝ края.

г) Можем да си представим пръстена като два слепени полупръстена. На левия полупръстен му действат две сили на опън T, които пораждат ускорение на центъра на масата $\omega^2 r_C$ . Това ускорение е едно и също без значение дали оста е перпендикулярна на пръстена или минава през диаметър. Поради това механичното напрежение е същото като от предната подточка. [2т.]

Пръстен, разделен с вертикална пунктирна линия на два полупръстена; отбелязано е разстоянието rC от центъра до центъра на масата и двете сили на опън по вертикалната линия. — Към подточка г): пръстенът като два слепени полупръстена; $r_C$ е разстоянието до центъра на масата на полупръстена.

Пръстен, въртящ се около вертикален диаметър; елемент на ъгъл θ с радиус R е на разстояние r от оста, а върху него действат хоризонталните проекции Tx(θ) и Tx(θ+dθ). — Към алтернативното решение: елемент от пръстена на ъгъл $\theta$ и проекциите $T_x(\theta)$ и $T_x(\theta + d\theta)$ .

Алтернативно решение:

Можем да запишем:

2T = \int_0^{\pi} dm\,\omega^2 R \sin\theta = \frac{m\omega^2 R}{2\pi}2.

[1т.]

Така получаваме $T = \dfrac{m\omega^2 R}{2\pi}$ . [1т.]

д) Имаме $T = \dfrac{m\omega^2 R}{2\pi}$ и $2T = \dfrac{m}{2}\omega^2 r_c$ (виж фиг. на подточка г) [1т.]. Оттук намираме $r_c = \dfrac{2R}{\pi}$ . [1т.]

Оригинал в Архива: proletni_2019_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2019_11-12solutions.pdf