Съдържание

НПСФ 2019, 9. клас — Задача 2. Статика на флуиди

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2019

Национално пролетно състезание по физика 2019, тема за 9. клас (трета състезателна група) · 9 март 2019 г. · 10 т.

Условие

Дървено топче, замразено в парче лед, се удържа в цилиндричен съд с вода от нишка, която е закрепена към дъното на съда. Ледът с топчето е изцяло потопен във водата без да се допира до стените и дъното на съда (фиг. 2). След разтопяването на леда топчето остава изцяло потопено. Силата на опън на нишката се променя $\alpha$ пъти ( $\alpha > 1$ ), а нивото на водата в цилиндричния съд се променя с $h$ . Плътността на водата е $\rho_0$ , а на дървеното топче – $\rho$ ( $\rho < \rho_0$ ). Площта на основата на цилиндъра е $S$ .

Цилиндричен съд с вода; парче лед с дървено топче в него е изцяло потопено и е задържано от нишка, закрепена за дъното. — фиг.2

а) Как се е изменило (повишило се е, понижило се е) нивото на водата в цилиндричния съд след разтопяването на леда? Обосновете отговора си, като направите съответните пресмятания. [3 т.]

б) Как се е изменила (увеличила се е, намаляла е) силата на опън на нишката след разтопяването на леда? Обосновете отговора си, като направите съответните пресмятания. [4 т.]

в) Намерете обема на дървеното топче. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Нека означим обема на леда с $V_1$ . Неговата маса е $m = \rho_1 V_1$ [0,25 т.], където $\rho_1$ е плътността на леда. Когато е изцяло потопен, ледът повишава нивото на водата в цилиндъра с $h_1 = \dfrac{V_1}{S}$ . [0,5 т.] Водата, получила се след разтопяването му, има същата маса, но обем $V_0$ и $m = \rho_0 V_0$ . [0,25 т.] Тогава тази вода би повишила нивото на водата в съда с

h_0 = \frac{V_0}{S} = \frac{V_1}{S}\frac{\rho_1}{\rho_0} < \frac{V_1}{S} = h_1, \qquad [1\ \text{т.}]

защото плътността на леда е по-малка от плътността на водата, т. е. $\rho_1 < \rho_0$ . Следователно нивото на водата след разтопяване на леда се е понижило. [0,5 т.]

б) Да означим обема на топчето с $V$ . Първоначално разглеждаме леда и топчето като едно цяло. Тогава силата на опън на нишката до разтопяването на леда е

T_1 = F_A - mg, \qquad [0{,}5\ \text{т.}]

където $F_A$ е изтласкващата сила, а $m$ – общата маса на леда и топчето. Като изразим тези сили чрез плътностите и обемите, имаме

T_1 = \rho_0(V_1+V)g - \rho_1 V_1 g - \rho V g = [(\rho_0-\rho_1)V_1 + (\rho_0-\rho)V]g. \qquad [1\ \text{т.}]

След разтопяването на леда за силата на опън можем да запишем

T_2 = \rho_0 V g - \rho V g = (\rho_0-\rho)Vg. \qquad [0{,}5\ \text{т.}]

Тъй като $\rho_0 > \rho_1$ , имаме $(\rho_0-\rho_1)V_1 g > 0$ [0,5 т.]. Следователно в сила е неравенството

T_1 > T_2, \qquad T_1 = \alpha T_2. \qquad [1\ \text{т.}]

Изводът е, че силата на опън е намаляла след стопяването на леда. [0,5 т.]

в) От условието на задачата следва,че

h = h_1 - h_0 = \frac{V_1}{S}\left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_0}\right) \;\Rightarrow\; V_1(\rho_0-\rho_1) = hS\rho_0. \qquad [1\ \text{т.}]

Като заместим този израз във връзката между силите на опън $T_1 = \alpha T_2$ , имаме

hS\rho_0 + (\rho_0-\rho)V = \alpha(\rho_0-\rho)V, \qquad [1\ \text{т.}]

откъдето намираме

V = \frac{hS\rho_0}{(\alpha-1)(\rho_0-\rho)} = \frac{hS}{(\alpha-1)\left(1-\dfrac{\rho}{\rho_0}\right)}. \qquad [1\ \text{т.}]

Оригинал в Архива: proletni_2019_9problems.pdf · официални решения: proletni_2019_9solutions.pdf