НПСФ 2019, Специална тема — Задача 1. Формула на Лармор: атомът на Томсън и планетарният модел

Национално пролетно състезание по физика, 08–10 март 2019 г., гр. Вършец — Специална тема · 8 март 2019 г. · 10 т.

Условие

Точков заряд с големина $q$ се движи с ускорение $a$, в следствие на което излъчва електромагнитна вълна с мощност на енергията:

$P = \frac{q^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}, \qquad (1.1)$

където $\varepsilon_0$ е диелектричната проницаемост на вакуума, а $c$ е скоростта на светлината във вакуум. Това е така наречената формула на Лармор за пълната мощност, излъчена от ускоряващ се (не релативистки) точков заряд.

Полезни константи: $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m, $c = 3 \times 10^{8}$ m/s, $e = 1.6 \times 10^{-19}$ C, $m_e = 9.1 \times 10^{-31}$ kg.

1.1. След откриването на електрона от Томсън през 1897 г., той предлага модел на атома, в който електроните се движат в еднородно заредено вещество с такъв положителен заряд, че атомът остава електронеутрален.

Разгледайте атом (в модела на Томсън), за който положително зареденото вещество е кълбо с радиус $r_0$, а единственият електрон в него, в момента $t = 0$, е „закрепен“ неподвижно на повърхността на кълбото.

1.1.1. Определете вида на движението на електрона, след като бъде „освободен“. Запишете закона за движението му $x = x(t)$. (2 т.) [2 т.]

1.1.2. Използвайте формулата на Лармор и пресметнете средната мощност $\langle P\rangle$, която излъчва електронът, за характерно за системата време $t_0$. Изберете време $t_0 \neq 0$, което да улесни пресмятанията, обосновете отговора си. (2.5 т.) [2,5 т.]

1.2. Скоро след откритието на Томсън са направени опити, които показват, че неговият модел на атома е грешен. На базата на тези опити Ръдърфорд предлага така наречения „планетарен модел“, в който електроните обикалят около положително заредено ядро, подобно на планетите, обикалящи около Слънцето. В рамките на този модел, разгледайте електрон, който се движи по кръгова орбита с радиус $r$ около неподвижен протон.

1.2.1. Без да отчитате излъчването на електрона получете изрази за пълната енергия $E(r)$ и ускорението $a(r)$ на електрона като функции на радиуса $r$. (1.5 т.) [1,5 т.]

1.2.2. Използвайте формулата на Лармор, за да определите загубата на енергия $E_{\mathrm{з}}$ за един период на електрона. (0.5 т.) [0,5 т.]

1.2.3. Пресметнете времето на живот $t_{\mathrm{ж}}$ на такъв атом, ако знаете, че през цялото време електронът обикаля на орбита, която с добро приближение може да се счита за кръгова. В началния момент радиусът на орбитата е $r_0 = 5.3 \times 10^{-11}$ m. (3 т.) [3 т.]

1.2.4. Формулата на Лармор е вярна за нерелативистки скорости. Пресметнете радиуса на орбитата, при която скоростта на електрона става $0.1c$. Как ще обясните нарастването на кинетичната енергия, при положение, че електронът излъчва? (0.5 т.) [0,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2019_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2019_STsolutions.pdf