Съдържание

НПСФ 2019, Специална тема — Задача 3. Топлинни капацитети в цилиндър с подвижно бутало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2019

Национално пролетно състезание по физика, 08–10 март 2019 г., гр. Вършец — Специална тема · 8 март 2019 г. · 10 т.

Условие

Затворен цилиндър е разделен на две части от подвижно бутало. Във всяка от частите има по един мол двуатомен газ. Околната стена на цилиндъра, лявата му основа, както и буталото са направени от топлоизолиращ материал. Дясната основа на цилиндъра е топлопроводяща (виж фигурата). Обемите на лявата и дясната части са съответно $V_1$ и $V_2$ . Газът в дясната част се нагрява много бавно и буталото се премества. Приемете че газът има пет степени на свобода ( $i = 5$ ), както и че буталото се движи без триене.

Хоризонтален правоъгълен цилиндър: околната стена, лявата основа и вертикалното бутало са щриховани (топлоизолиращи), а дясната основа е начертана с тънка линия без щриховка (топлопроводяща); буталото дели цилиндъра на лява камера с етикет V1 и дясна камера с етикет V2, двете запълнени с точки, изобразяващи газ. — Затвореният цилиндър с подвижното бутало: лява част с обем $V_1$ и дясна част с обем $V_2$ ; щрихованите стени са топлоизолиращи, дясната основа е топлопроводяща.

Полезни формули: (за всички задачи)

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}, \quad \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \int \frac{1}{x}dx = \ln x + C, \quad \int_a^b f(x)dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a).

3.1. Изразете топлинните капацитети $C_1$ и $C_2$ на газа в двете части на цилиндъра при този процес чрез обемите $V_1$ и $V_2$ . (6.5 т.)

3.2. Разгледайте случай, в който и лявата основа на цилиндъра е топлопроводяща, всичко друго остава същото като в 3.1. Определете топлинните капацитети $C_1$ и $C_2$ , като отново ги изразите чрез $V_1$ и $V_2$ . (3.5 т.)

Отговори

Решение

Решение: 3.1. Нека всички параметри, отнасящи се за газа в лявата част на цилиндъра, имат индекс 1, а всички в дясната, индекс 2. Газът в лявата част е топлинно изолиран отвсякъде, така че не получава количество топлина и може да запишем $\delta Q_1 = C_V dT_1 + p_1 dV_1 = C_V dT_1 + RT_1 dV_1/V_1 = 0$ , (1 т.) където $C_V$ е топлинният капацитет на газа при постоянен обем. Уравненията са записани за един мол идеален газ. Оттук директно получаваме топлинния капацитет $C_1 = \delta Q_1/dT = 0$ . (0.5 т.) За газа във дясната част може да запишем $\delta Q_2 = C_V dT_2 + p_2 dV_2 = C_V dT_2 + RT_2 dV_2/V_2$ . (0.5 т.) Газът се нагрява много бавно съответно и буталото се движи много бавно и налягането в двете части на цилиндъра е еднакво във всеки един момент, откъдето следва че $V_1/T_1 = V_2/T_2$ или $dV_1/V_1 - dV_2/V_2 = dT_1/T_1 - dT_2/T_2$ . Също така може да отчетем, че обема не цилиндъра не се променя или $dV_1 + dV_2 = 0$ . (1.5 т.) От последните уравнения може да изразим $dV_2/V_2$ чрез $dT_2/T_2$ . Заместваме в израза за $\delta Q_2$ и коефициентът пред $dT_2$ е топлинният капацитет на газа в дясната част:

C_2 = C_V\gamma\frac{V_1+V_2}{V_1+\gamma V_2} = \frac{5}{2}R\frac{7}{5}\frac{V_1+V_2}{V_1+7V_2/5} = \frac{7}{2}\frac{V_1+V_2}{V_1+7V_2/5}R = \frac{35}{2}\frac{V_1+V_2}{5V_1+7V_2}R. \quad \textbf{(2.5 т.)}

В последното равенство сме отчели, че газът е двуатомен и има $i = 5$ степени на свобода, тогава $\gamma = (i+2)/i = 7/5$ , $C_V = (i/2)R = 5R/2$ . (0.5 т.)

Решение: 3.2. В този случай газът в лявата част може да обменя топлина с околната среда и тъй като буталото отново се движи много бавно, то температурата $T_1$ не се променя или $C_1 = \delta Q_1/dT_1 = \infty$ . (0.5 т.) За газа във дясната част отново може да запишем $\delta Q_2 = C_V dT_2 + p_2 dV_2 = C_V dT_2 + RT_2 dV_2/V_2$ , като използваме, че $dT_1 = 0$ , (0.5 т.) $dV_1 = -dV_2$ и заместим в $dV_1/V_1 - dV_2/V_2 = dT_1/T_1 - dT_2/T_2$ може да изразим $\delta Q_2$ чрез $dT_2$ и за топлинния капацитет получаваме:

C_2 = C_V\frac{\gamma V_1+V_2}{V_1+V_2} = \frac{5}{2}\frac{7V_1/5+V_2}{V_1+V_2}R = \frac{1}{2}\frac{7V_1+5V_2}{V_1+V_2}R. \quad \textbf{(2.5 т.)}

Оригинал в Архива: proletni_2019_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2019_STsolutions.pdf