Съдържание

НПСФ 2021, 10. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2021

Национално пролетно състезание по физика 2021, тема за X клас (четвърта състезателна група) · 13 март 2021 г. · 10 т.

Условие

Две тела с различни обеми ( $3V_1 = V_2 = 600\ \mathrm{cm^3}$ ) са закачени в двата края на лост, така че лостът е в равновесие (масата на лоста може да се пренебрегне). Ако потопим лоста с двете тела във вода, равновесието ще се наруши.

3.1. Обяснете защо се нарушава равновесието и как ще се завърти лостът, по часовниковата стрелка или в обратна посока. [1 т.]

Хоризонтален лост върху триъгълна опора; вляво на разстояние $l_2$ виси тяло с обем $V_2$, вдясно на разстояние $l_1$ виси тяло с обем $V_1$. — Лостът, уравновесен във въздуха: тяло 2 (обем $V_2$ ) на разстояние $l_2$ и тяло 1 (обем $V_1$ ) на разстояние $l_1$ от опорната точка.

3.2. Нека $l_1 = 70\ \mathrm{cm}$ и $l_2 = 1\ \mathrm{m}$ са разстоянията, на които се намират тяло 1 и 2 от опорната точка на лоста, когато той е уравновесен във въздуха, а $d$ е разстоянието, на което трябва да се премести тяло 1, когато лостът е уравновесен във водата (тяло 2 остава на същото място). Определете разстоянието $d$ и масите на телата ако знаете, че когато вземем само тяло 1 и го потопим във вода, то теглото му ще намалее с $14.1\%$ . Плътността на водата е $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ . [4,5 т.]

Схема с две макари, окачени на таван: неподвижна макара горе и подвижна макара вляво с тяло 3; нишката слиза до левия край на лост, на който вдясно виси тяло 1, а тяло 2 е в левия край; разстоянието от левия край до опората е означено с $x = ?$. — Нишката от левия край на лоста минава през неподвижна и подвижна макара; тяло 3 виси на подвижната макара, а опорната точка е на търсеното разстояние $x$ от левия край.

3.3. Към левия край на лоста се връзва нишка, която е прекарана през една подвижна и една подвижна макара, както е показано на фигурата. На какво разстояние $x$ трябва да се намира опорната точка на лоста (спрямо левия край), така че лостът да е в равновесие. Тяло 3, закачено на подвижната макара, има маса $620\ \mathrm{g}$ . Масите на макарите могат да се пренебрегнат. [2,5 т.]

3.4. Нека разгледаме случай, в който масата на лоста не е пренебрежимо малка, както в предните предните подусловия на задачата. Къде трябва да се намира опорната точка на лоста, за да бъде той в равновесие, ако тела 1 и 3 са окачени в двата му края. Масата на лоста е $680\ \mathrm{g}$ .

Указание: ще считаме, че един лост е в равновесие, ако е изпълнено равенството $F_1l_1 = F_2l_2$ , където $l_1$ е рамото на силата $F_1$ , действаща от едната страна на лоста, а $l_2$ е рамото на силата $F_2$ , действаща от другата страна на лоста.

Може да използвате, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . [2 т.]

Отговори

Решение

Решение: 3.1. Тяло 2 има по-голям обем в сравнение с тяло 1, така че на него ще му действа по-голяма изтласкваща сила и теглото му ще намалее повече в сравнение с това на тяло 1. (0.5 т.) Тъй като телата все още са закачени в краищата на лоста, то тяло 2 ще се вдигне нагоре, а тяло 1 ще падна надолу, тоест лостът се завърта по посока на часовниковата стрелка. (0.5 т.)

Решение: 3.2. Да въведем следните означения:

$P_1$ – теглото на тяло 1 във въздух;
$P_2$ – теглото на тяло 2 във въздух;
$P$ – теглото на изместената от тяло 1 вода;
$l_1$ – разстояние от тялото 1 до опорната точка, когато лостът е във въздуха;
$l_2$ – разстояние от тялото 2 до опорната точка, когато лостът е във въздуха;
$d_1$ – разстояние от тялото 1 до опорната точка, когато лостът е във водата.

По условие знаем, че ако потопим тяло 1 във вода то теглото му $P_1$ ще намелее с $14.1\%$ . От друга страна, това е теглото на изместената от тялото вода или $P = 0.141P_1 = m_{\text{в}}g = \rho_{\text{в}}V_1g$ , откъдето за теглото на тяло 1 получаваме

P_1 = \rho_{\text{в}}V_1g/0.141 = (1000\cdot 200\cdot 10^{-6}\cdot 10/0.141)\ \mathrm{N} \approx 14.2\ \mathrm{N}. \qquad \textbf{(1 т.)}

При уравновесен във въздуха лост може да запишем, че $P_1l_1 = P_2l_2$ . (0.5 т.) От тук може да изразим теглото на тяло 2, за което получаваме

P_2 = P_1l_1/l_2 = (14.2\cdot 0.7/1)\ \mathrm{N} = 9.9\ \mathrm{N}, \qquad \textbf{(0.5 т.)}

съответно масите на телата са

m_1 = \rho_{\text{в}}V_1/0.141 \approx 1.42\ \mathrm{kg} \quad \textbf{(0.5 т.)} \quad \text{и} \quad m_2 = \rho_{\text{в}}V_1gl_1/(0.141\,l_2) \approx 0.99\ \mathrm{kg}. \qquad \textbf{(0.5 т.)}

Когато лостът е уравновесен във вода имаме:

(P_1 - P)d_1 = (P_2 - 3P)l_2. \qquad \textbf{(1 т.)}

След като вече знаем теглата на двете тела, от горното равенство може да изразим $d_1$ , а разстоянието $d$ може да получим, като $l_1 - d_1$

d = l_1 - (P_2 - 3P)l_2/(P_1 - P) \approx 0.38\ \mathrm{m}. \qquad \textbf{(0.5 т.)}

Решение: 3.3. Нека означим дължината на лоста с $l = l_1 + l_2$ . В десния край на лоста ще действа сила $P_1$ , а в левия сила $P_2 - P_3/2$ , тъй като тяло 3 е закачено на подвижната макара. (1.5 т.) За да е в равновесие лостът трябва да е изпълнено следното условие $(P_2 - P_3/2)x = P_1(l - x)$ , (0.5 т.) откъдето определяме разстоянието $x$

x = P_1l/(P_1 + P_2 - P_3/2) \approx 1.15\ \mathrm{m} \qquad \textbf{(0.5 т.)}

Решение: 3.4. Може да разгледаме „тежкия“ лост като лост с пренебрежима маса, в центъра на който е закачено тяло с маса равна на масата на лоста и тегло $P_{\text{л}} = 6.8\ \mathrm{N}$ . (0.5 т.) Да разгледаме два случая. В първия случай опорната точка се намира по-близо до десния край, на разстояние $x$ от центъра на лоста. При равновесие ще е изпълнено: $P_1(l/2 - x) = P_3(l/2 + x) + P_{\text{л}}x$ откъдето получаваме: $x = (P_1 - P_3)l/(P_1 + P_3 + P_{\text{л}}) = 0.5\ \mathrm{m}$ . Във втория случай опорната точка ще е по-близо до левия край на лоста: $P_1(l/2 + x) + P_{\text{л}}x = P_3(l/2 - x)$ откъдето получаваме: $x = -(P_1 - P_3)l/(P_1 + P_3 + P_{\text{л}})$ което е отрицателно число, т.е. опорната точка не може да бъде от тази страна на лоста. (1.5 т.)

Оригинал в Архива: proletni_2021_10problems.pdf · официални решения: proletni_2021_10solutions.pdf