НПСФ 2021, 10. клас — Задача 2

• 2.1. $x_{\text{кр}} = d_1 = 5\ \mathrm{m},\quad y_{\text{кр}} = s_1 - d_1 = 2.6\ \mathrm{m}$

  Точката на срещата е $(x_{\text{кр}}, y_{\text{кр}}) = (5\ \mathrm{m};\ 2.6\ \mathrm{m})$; стойността по-горе е $y_{\text{кр}}$.

• 2.2. $L(t) = \begin{cases} 1.8t, & t \in [0.0, 3.0)\ \mathrm{s} \\[2pt] \sqrt{0.25t^2 - 4.5t + 40.5}, & t \in [3.0, 5.0) \\[2pt] \sqrt{3.25t^2 - 47.5t + 180.5}, & t \in [5.0, 6.3) \\[2pt] 19 - 2.5t, & t \in [6.3, 7.6] \end{cases}$

  Дължините са в метри, времето – в секунди.

• 2.3. $t_{\mathrm{m}} = 3\ \mathrm{s},\quad L_{\mathrm{m}} = 1.8t_{\mathrm{m}} = 5.4\ \mathrm{m}$

  Моментът е $t_{\mathrm{m}} = 3\ \mathrm{s}$, а стойността по-горе е максималната дължина $L_{\mathrm{m}}$.

Решение: 2.1. До момента на срещата децата се движат едно и също време $t_{\text{кр}}$. (0.3 т.) Първото дете изминава път $s_1 = v_1t_{\text{кр}}$, (0.2 т.) а второто път $s_2 = v_2t_{\text{кр}}$, (0.2 т.) като $s_1 + s_2 = 2(d_1 + d_2)$. (0.3 т.) Така може да получим $s_1 = 2(d_1+d_2)v_1/(v_1+v_2) = 2\cdot 9.5\cdot 1/2.5\ \mathrm{m} = 7.6\ \mathrm{m}$. (0.5 т.) Оста $Ox$ е ориентирана по стената $d_1$, тогава координатите на срещата ще са $x_{\text{кр}} = d_1 = 5\ \mathrm{m}$ и $y_{\text{кр}} = s_1 - d_1 = 2.6\ \mathrm{m}$. (0.5 т.)

Решение: 2.2. Дължината на ластика $L$ се определя от положенията на децата. Нека означим координатите на първото дете с $(x_1, y_1)$, а на второто с $(x_2, y_2)$. От Питагоровата теорема за $L$ може да запишем, че $L = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. (0.5 т.)

Да разгледаме моментите от време, в които става промяна на начина, по който се изменят координатите на децата. Второто дете се движи с по-голяма скорост и първоначално е до по-късата стена, т.е. то ще стигне първо до съседния му ъгъл с координати $(0, d_2)$ в момента $t_1 = d_2/v_2 = 3.0\ \mathrm{s}$. Първото дете ще стигне съседния му ъгъл с координати $(d_1, 0)$ в момента $t_2 = d_1/v_1 = 5.0\ \mathrm{s}$. Второто дете ще стигне в $(d_1, d_2)$ в момента $t_3 = (d_2+d_1)/v_2 = 19/3\ \mathrm{s} = 6.3\ \mathrm{s}$. Двете деца ще се срещнат в т. $(x_{\text{кр}}, y_{\text{кр}})$ в момента $t_{\text{кр}} = s_1/v_1 = 7.6\ \mathrm{s}$. От всичко това $L(t)$ може да се запише по следния начин:

Решение: 2.3. От предното подусловие се вижда, че дължината на ластика нараства линейно с времето през първите три секунди. След това $L^2(t)$ е квадратична функция от вида $at^2 + bt + c$. При $a > 0$ функцията е намаляваща в интервала $\left(-\infty, -\frac{b}{2a}\right]$. (1 т.) В конкретния случай $-\frac{b}{2a} = 9\ \mathrm{s}$, така че в интервала $t \in [3.0, 5.0)$ $L^2(t)$ ще намалява, съответно $L(t)$ също ще намалява. (1 т.) Така максималната дължина на ластика ще е при $t = t_{\mathrm{m}} = 3\ \mathrm{s}$, а $L_{\mathrm{m}} = 1.8t_{\mathrm{m}} = 5.4\ \mathrm{m}$. (1.5 т.)