Съдържание

Условие Част 1.Част 2. Подвижни макари с неподвижни теглилки Решение

НПСФ 2021, 11. клас — Задача 1. Неподвижна макара с движещи се теглилки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2021

Национално пролетно състезание по физика 2021, Тема за пета състезателна група (11. клас) · 13 март 2021 г. · 10 т.

Условие

Част 1.

Безтегловна макара е окачена за тавана. Две теглилки 1 и 2 с маси $m_1$ и $m_2$ ( $m_1 > m_2$ ) съответно са закрепени на двата края на нишка, преминаваща през макарата (Фиг. 1). Теглилките се намират достатъчно далеч от тавана.

В първоначалния момент системата е неподвижна. Теглилката с маса $m_1$ се удържа на височина $h$ над хоризонтална равнина, а теглилката $m_2$ се намира върху равнината ~~плоскостта~~. Приемете, че нишката е неразтеглива, безтегловна и гъвкава.

След като системата се освободи, телата започнат да се движат без начална скорост, т.е. макарата се завърта обратно на часовниковата стрелка.

Фиг. 1. Неподвижна макара с две теглилки.

А) Намерете силите на опън на нишката $T_1$ и $T_2$ (действащи ѝ от страна на телата 1 и 2) и ускоренията на телата $a_1$ и $a_2$ , докато $m_1$ се удари в равнината. [1 т.]

Теглилката с маса $m_1$ достига до равнината и следва абсолютно нееластичен удар.

Б) На каква максимална височина $H$ , спрямо равнината, ще се изкачи теглилката с маса $m_2$ ? [3 т.]

В) Намерете на каква максимална височина $h_1$ ще се издигне $m_1$ след като теглилката с маса $m_2$ започне да пада надолу, т.е. макарата започне да се върти по часовниковата стрелка и я сравнете с височината $h$ . (Приемете, че след като тялото 2 „друсне“ на нишката, двете тела имат равни по големина скорости) [3 т.]

Част 2. Подвижни макари с неподвижни теглилки

На Фиг.1а е показана система от подвижна и неподвижна макара. На подвижната макара е закачена теглилка с маса $M$ . Към свободния край на нишката е приложена сила $F$ , така че системата е в равновесие.

А) Всички нишки са успоредни една на друга. Каква сила $F$ трябва да се приложи към свободния край на нишката, така че системата да бъде в равновесие? [0,5 т.]

Б) Ще се запази ли равновесието, ако свободният край на нишката се отклони под ъгъл $\alpha$ спрямо вертикалата (Фиг. 1б)? Обосновете отговора си.

[0,5 т.]

В) Ще се запази ли равновесието, ако т. $A$ се отмести, така че нишката да сключва ъгъл $\alpha$ с вертикалата (Фиг. 1в)? Обосновете отговора си.

[1 т.]

Г) Полиспаст се нарича система от макари, чието предназначение е да се печели сила. Намерете каква сила $F$ трябва да се приложи към система от $N$ на брой подвижни макари и една неподвижна (Фиг. 1г), така че системата да бъде в равновесие. Нишките са успоредни една на друга.

[1 т.]

Решение

А) Понеже нишката и макарата са безтегловни, силата на опън по цялото протежение на нишката е една и съща. След като приложим втори закон на Нютон за двете тела се получават следните уравнения:

За тяло с маса $m_1$ : $\quad m_1g - T = m_1a$

За тяло с маса $m_2$ : $\quad T - m_2g = m_2a$

Отчели сме, че ускоренията на телата са равни ( $a_1 = a_2 = a$ ).

След решаване на системата уравнения се получава:

a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,g

T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}\,g

За верен отговор за ускорението и силата на опън (1 т)

Б) в момента на удара на $m_1$ в плоскостта и двете тела имат еднакви скрости:

v = \sqrt{2ah} = \sqrt{2gh\cdot\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}} \qquad \textbf{(1 т)}

След като теглилката $m_1$ се удари в плоскостта, теглилката $m_2$ се намира на височина $h$ . Но $m_2$ продължава да се движи нагоре. Понеже вече нишката няма да е опъната, движението нагоре ще равнозакъснително с големина на ускорението - земното ускорение $g$ , при което ще се изкачи с още $y$ .

H = h + y,\ \text{но}\ y = \frac{v^2}{2g} \qquad \textbf{(1 т)}

След заместване намираме търсения отговор:

H = \frac{2m_1h}{m_1 + m_2} \qquad \textbf{(1 т)}

В) След като $m_2$ достигне височината $H$ , то започва да пада свободно, докато не се опъне нишката отново. Когато нишката се опъне $m_2$ ще има скорост $v$ . Използваме закона за запазване на импулса, за да определим скоростта $v_1$ , с която теглилката $m_1$ ще започне да се издига.

m_2v = (m_1 + m_2)v_1

v_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2}v = \frac{m_2}{m_1 + m_2}\sqrt{2gh\cdot\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}} \qquad \textbf{(1 т)}

Ускоренията на телата ще са същите, намерени в подусловие А. Следователно търсената височина $h_1$ е:

h_1 = \frac{v_1^2}{2a} \qquad \textbf{(1 т)}

След заместване с дадените величини и кратки математически преобразувания се получава:

h_1 = \left(\frac{m_2}{m_1 + m_2}\right)^{2} h \qquad \textbf{(1 т)}

Получава се максимална височина $h_1 < h$ , т.е. теглилката с маса $m_2$ няма да достигне до плоскостта.

Част 2.

А) $F = T_2$ ;

Но $T_2 = T_1 = T/2$ , от друга страна $T = Mg$ .

F = \frac{Mg}{2} \qquad \textbf{(0,5 т)}

Б) Ще се запази равновесието. Чрез неподвижна макара само можем да променяме посоката на силата, но не се печели сила. (0,5 т)

В) Няма да се запази равновесието.

При преместване на точка $A$ наляво равновесието се нарушава. След като приложим втория закон на Нютон за подвижната макара по вертикална ос, се получава очевидното неравенство:

T_1 + T_1\cos\alpha - T < 0,

Но $T = Mg$ , следователно

T_1 + T_1\cos\alpha < Mg,

Теглилката ще започне да се спуска надолу. (1 т)

Г) При една подвижна макара

F = \frac{Mg}{2^{1}}

При две подвижни макари:

F = \frac{Mg}{2^{2}}

При три подвижни макари:

F = \frac{Mg}{2^{3}}

\ldots

Лесно стигаме до извода, че при $N$ подвижни макари

F = \frac{Mg}{2^{N}} \qquad \textbf{(1 т)}

Оригинал в Архива: proletni_2021_11problems.pdf · официални решения: proletni_2021_11solutions.pdf