Съдържание

НПСФ 2021, 12. клас — Задача 2. Електрическа верига

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2021

Национално пролетно състезание по физика 2021, Тема за VI състезателна група (12. клас) · 13 март 2021 г. · 10 т.

Условие

Батерия с неизвестно електродвижещо напрежение $\mathcal{E}$ е свързана с два идеални амперметъра, два идеални волтметъра и четири резистора с неизвестни съпротивления $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ и $R_4$ , означени на фигурата вляво с „1“, „2“, „3“ и „4“. Съответните мощности, които се отделят в четирите резистора, ще означим с $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ и $P_4$ . Дадено е, че за тази верига отношенията на отделените мощности са $P_1 : P_2 : P_3 : P_4 = 1 : 2 : 3 : 4$ .

Схема на верига: батерия с ЕДН, резистори R1 и R4 в горния клон, R2 в среден клон, R3 в левия клон, два амперметъра и два волтметъра, свързани между клоновете. — Електрическата верига с резисторите „1“–„4“, двата амперметъра и двата волтметъра.

а) Изразете съпротивленията $R_1$ , $R_2$ и $R_3$ чрез съпротивлението $R_4$ . Колко е еквивалентното съпротивление $R_{\mathrm{екв}}$ на веригата, изразено чрез $R_4$ ? [4 т.] [4 т.]

б) Разменяме местата на амперметрите и волтметрите в горната верига, т.е. двата амперметъра се поставят на местата на волтметрите и обратно. За така получената електрическа верига новите отделени мощности в резисторите ще означим съответно с $P'_1$ , $P'_2$ , $P'_3$ и $P'_4$ .

Ако означим еквивалентното съпротивление на новата верига с $R'_{\mathrm{екв}}$ , определете отношението $R_{\mathrm{екв}}/R'_{\mathrm{екв}}$ между еквивалентните съпротивления на двете вериги. [2 т.] [2 т.]

в) Ако новите мощности на резисторите се отнасят както $P'_1 : P'_2 : P'_3 : P'_4 = 1 : x : y : z$ , намерете на колко са равни числата $x$ , $y$ и $z$ . [4 т.] [4 т.]

Отговори

Решение

а) Еквивалентната схема на електрическата верига е представена вляво. [0,5 т.] Резисторите „1“ и „2“ са свързани успоредно помежду си и последователно на резисторите „3“ и „4“. Напреженията върху „1“ и „2“ са еднакви, откъдето отношението $\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{P_2}{P_1} = 2$ , т.е. $R_1 = 2R_2$ . [0,5 т.] Токовете през „3“ и „4“ са едни и същи, т.е. $\dfrac{R_3}{R_4} = \dfrac{P_3}{P_4} = \dfrac{3}{4}$ . [0,5 т.] Оттук $R_3 = \dfrac{3}{4}R_4$ . [0,2 т.] Резисторите „1“ и „2“ са еквивалентни на резистор със съпротивление $\dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ , в който се отделя мощност $P_1 + P_2$ . [0,5 т.] Следователно $\dfrac{R_1 R_2}{(R_1 + R_2)R_3} = \dfrac{2R_2}{3R_3} = \dfrac{P_1 + P_2}{P_3} = 1$ [0,5 т.], откъдето $R_2 = \dfrac{3}{2}R_3 = \dfrac{9}{8}R_4$ [0,5 т.]. Съпротивлението $R_1 = 2R_2 = \dfrac{9}{4}R_4$ . [0,3 т.] Еквивалентното съпротивление на веригата е $R_{\mathrm{екв}} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + R_3 + R_4 = \dfrac{3}{4}R_4 + \dfrac{3}{4}R_4 + R_4 = \dfrac{5}{2}R_4$ . [0,5 т.]

Опростена схема: резисторите 1 и 2 са в успоредна двойка, свързана последователно с резистор 4, резистор 3 и батерията. — Еквивалентна схема на изходната верига: „1“ и „2“ успоредно, последователно с „3“ и „4“.

б) Еквивалентната схема на новата електрическа верига е представена вляво. [1 т.] Резисторите „1“ и „4“ са свързани последователно един на друг и успоредно на резистора „2“. Резисторът „3“ е свързан последователно към останалите. Еквивалентното съпротивление на новата верига е $R'_{\mathrm{екв}} = R_3 + \dfrac{R_2(R_1 + R_4)}{R_1 + R_2 + R_4} = \dfrac{3}{4}R_4 + \dfrac{117}{140}R_4 = \dfrac{111}{70}R_4$ . [0,5 т.] Търсеното отношение е $\dfrac{R_{\mathrm{екв}}}{R'_{\mathrm{екв}}} = \dfrac{175}{111}$ . [0,5 т.]

Опростена схема: резисторите 1 и 4 са последователно свързани и образуват клон, успореден на резистор 2; резистор 3 и батерията са последователно към тях. — Еквивалентна схема на новата верига след размяната на амперметрите и волтметрите: „1“ и „4“ последователно, успоредно на „2“, а „3“ — последователно.

в) Тъй като резисторите „1“ и „4“ са свързани последователно, през тях минава един и същ ток, откъдето $\dfrac{P'_1}{P'_4} = \dfrac{R_1}{R_4} = \dfrac{9}{4}$ . [0,5 т.] По условие $\dfrac{P'_1}{P'_4} = \dfrac{1}{z}$ , т.е. $z = \dfrac{P'_4}{P'_1} = \dfrac{4}{9}$ . [0,5 т.] Резисторите „1“ и „4“ са еквивалентни на резистор със съпротивление $R_1 + R_4$ и мощност $P'_1 + P'_4$ . [0,5 т.] Оттук $\dfrac{P'_1 + P'_4}{P'_2} = \dfrac{R_2}{R_1 + R_4} = \dfrac{9}{26}$ . [0,5 т.] От друга страна $\dfrac{P'_1 + P'_4}{P'_2} = \dfrac{1 + z}{x}$ , откъдето следва, че $x = \dfrac{26(1 + z)}{9} = \dfrac{338}{81}$ . [0,5 т.] Успоредно свързаните резистори в случая са еквивалентни на резистор със съпротивление $\dfrac{R_2(R_1 + R_4)}{R_1 + R_2 + R_4}$ и мощност $P'_1 + P'_2 + P'_4$ . [0,5 т.] Следователно $\dfrac{P'_1 + P'_2 + P'_4}{P'_3} = \dfrac{R_2(R_1 + R_4)}{R_3(R_1 + R_2 + R_4)} = \dfrac{39}{35}$ . [0,5 т.] От условието се вижда, че $\dfrac{P'_1 + P'_2 + P'_4}{P'_3} = \dfrac{1 + x + z}{y}$ , откъдето получаваме $y = \dfrac{35(1 + x + z)}{39} = \dfrac{1225}{243}$ . [0,5 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2021_12problems.pdf · официални решения: proletni_2021_12solutions.pdf