НПСФ 2021, Специална тема — Задача 3. Турбореактивен двигател

Национално пролетно състезание по физика, 12 – 14 март 2021 г., Стара Загора — Специална тема · 12 март 2021 г. · 10 т.

Условие

Турбореактивният двигател е двигател, основно използван като самолетен двигател, чиято основна съставна част е газова турбина, и чието действие се основава на изгарянето на смес от подаван под налягане въздух и гориво. Получената при изгарянето топлина нагрява газовата смес и разширявайки се, тя излиза от двигателя с голяма скорост, като създава реактивна тяга.

а) Нека разгледаме прост модел на турбореактивен двигател. Самолетът се движи равномерно спрямо въздуха със скорост $v_i$ , т.е. въздухът влиза в двигателя със скорост $v_i$ , а излиза от него със скорост $v_e$ (спрямо двигателя). Плътността на влизащия въздух е $\rho$ , а сечението на отвора на двигателя – $S$ . Получете формула за реактивната сила $F_r$ , действаща на двигателя. [1 т.]

б) Нека в двигателя при изгарянето на горивото се отделя количество топлина за единица време $q = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$ . Получете формула за коефициента на полезно действие $\eta$ на двигателя. [1 т.]

в) Процесите в най-простия модел на такъв двигател (без турбина) се моделират с кръговия процес (цикъла) на Brayton. Той е съставен от две изобари и две адиабати. Изчислете коефициента на полезно действие $\eta_B$ на такъв цикъл за идеален газ с коефициент на адиабатата $\gamma$ ($\gamma = \frac{c_p}{c_V}$) . Двата изобарни процеса се извършват съответно при налягания $p_1$ и $p_2$ ($p_2 > p_1$) . Уравнението на състоянието на идеалния газ при адиабатния процес е $p.V^\gamma = const.$ . [2 т.]

г) Нека разгледаме по-конкретен модел на реактивен двигател (без турбина). Влизащият в двигателя въздух има скорост $v_i$, температура $T_i$ и налягане $p_i = p_0$ (виж фигурата). При навлизането в двигателя газът адиабатно си увеличава температурата до $T_1$, налягането до $p_1$, а скоростта му става нула. След това изгарящото гориво (масата му се пренебрегва, променящият се химически състав на въздуха също не се отчита) отделя количество топлина за единица време $q = \Delta Q/\Delta t$ . При този процес газът се нагрява изобарно до температура $T_2$ и налягане $p_2 = p_1$, като скоростта му все още е нула. След това газът се разширява адиабатно до температура $T_e$ , налягане $p_e = p_0$ и започва да се движи спрямо двигателя със скорост $v_e$ . Докажете, че $T_1 - T_i = \frac{{v_i}^2}{2c_p}$ , където $c_p$ е специфичният топлинен капацитет при постоянно налягане (т.е. $c_p = \frac{\Delta Q}{\Delta m\Delta T}$ , при $p = const.$) [0.5 т.] Получете формула за скоростта $v_e = v_e\left(v_i,\rho,S,q,c_p,T_i\right)$ на изтичане на въздуха от двигателя. [3,5 т.]

д) Оказва се, че моделът на реактивния двигател без турбина, описан в подусловие г), има много нисък КПД. Затова ще разгледаме усложнен модел, по който работят турбореактивните двигатели (с турбина, виж схемата и фигурата).

Влизащият в двигателя въздух има скорост $v_i$, температура $T_i$ и налягане $p_i = p_0$ (виж фигурата). При навлизането в двигателя газът адиабатно си увеличава температурата до $T_1$, налягането до $p_1$, а скоростта му става нула. След това лявата част на турбината компресира въздуха адиабатно до състояние с температура $T_3$, налягане $p_3$, а скоростта му продължава да е нула. Отношението (степента на компресия) $\frac{p_3}{p_1} = b$ . При това турбината извършва работа $A$ (неизвестна) за единица време върху газа. След това изгарящото гориво (масата му се пренебрегва, променящият се химически състав на въздуха също не се отчита) отделя количество топлина за единица време $q = \Delta Q/\Delta t$ . При този процес газът се нагрява изобарно до температура $T_4$ и налягане $p_4 = p_3$, като скоростта му все още е нула. След това газът извършва същото количество работа $A$ за единица време върху дясната част на турбината, при което адиабатно достига до температура $T_2$, налягане $p_2$, а скоростта му продължава да е нула. След това газът се разширява адиабатно до температура $T_e$ , налягане $p_e = p_0$ и започва да се движи спрямо двигателя със скорост $v_e$ . Получете формула за скоростта $v_e = v_e\left(v_i,\rho,S,q,c_p,T_i,b\right)$ на изтичане на въздуха от двигателя. [2,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2021_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2021_STsolutions.pdf