Съдържание

НПСФ 2022, 11. клас — Задача 3. Ъгълът на падане е различен от ъгъла на отражение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2022

Пролетно национално състезание по физика 2022, тема за 11 клас (пета състезателна група) · 10 т.

Условие

Машина изстрелва топка за тенис под ъгъл $\alpha$ спрямо хоризонта с начална скорост $v_0$ . Височината, от която се изстрелва топката, е $h$ (вж Фиг. 4). При решаване на задачата съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

Фиг. 4. Изстрелване и падане на въртящата се топка.

А) С каква скорост $v$ топката ще се удари в земната повърхност? [1 т.]

Б) Намерете тангенциалното $a_\tau$ и нормалното ускорение $a_\mathrm{n}$ в най-високата точка от траекторията на топката. [0,5 т.]

В) Под какъв ъгъл $\beta$ спрямо вертикалата ще падне върху земната повърхност. [1,5 т.]

Г) Топката има радиус $R$ и в момента на удара освен, че има скорост на постъпателно движение $v$ , се върти с ъглова скорост $\omega$ ( $\omega R \gg v$ ) обратно на часовниковата стрелка. Оста на въртене на топката е перпендикулярна на равнината на чертежа. По време на удара топката хлъзга в земята, деформацията на топката е еластична, коефициентът на триене между топката и земната повърхност е $k$ . След удара в земната повърхност топката продължава да се върти в същата посока, но с много малко изменение на ъгловата скорост.

Намерете под какъв ъгъл $\gamma$ спрямо вертикалата ще отскочи топката след удара си в земната повърхност, т.е. изразете връзката между $\gamma$ , $\beta$ и $k$ . [7 т.]

Решение

А) Използваме закона за запазване на енергията:

\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2}

v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} \qquad \textbf{(1 т)}

Б) $a_\tau = 0$ ; $a_n = g$ . (0,5 т)

В) Хоризонталнаъа компонента на скоростта $v_x = v_0.\cos\alpha$ (0,5 т).

От геометрични съображения:

\sin\beta = \frac{v_0\cos\alpha}{v}

\sin\beta = \frac{v_0\cos\alpha}{\sqrt{v_0^2 + 2gh}} \qquad \textbf{(1 т)}

Г) За времето $t$ , за което топката е в контакт със земната повърхност, действат две сили – сила на нормална реакция на опората $N$ и сила на триене $f$ , която е насочена в посока обратна на оста $x$ , като действието и е съпроводено от въртенето на топката и нейното приплъзване в земната повърхност.

Импулсът на топката по компоненти се изменя:

\Delta p_y = p_y - p_{0y} = N.t \qquad \textbf{(1 т)}

\Delta p_x = p_x - p_{0x} = f.t = -kNt \qquad \textbf{(1 т)}

При удара деформацията на топката е еластична и следователно:

p_y = p_{0y} = mv\cos\beta \qquad \textbf{(0,5 т)}

Следователно измението на импулса по $y$ е:

\Delta p_y = 2mv\cos\beta = Nt \qquad \textbf{(0,5 т)}

От друга страна:

p_x = p_y.\mathrm{tg}\gamma \qquad \textbf{(1 т)}

p_{0x} = mv.\sin\beta \qquad \textbf{(1 т)}

Окончателно за $\Delta p_x$ :

\Delta p_x = p_x - p_{0x} = mv\cos\beta.\mathrm{tg}\gamma - mv.\sin\beta = -kNt \qquad \textbf{(1 т)}

След почленно делене на изразите за $\Delta p_x$ и $\Delta p_y$ :

\mathrm{tg}\gamma = \mathrm{tg}\beta - 2k \qquad \textbf{(1 т)}

[Бележка от източника: Равенството $p_y = p_{0y}$ е отпечатано така в оригинала, въпреки предходната разлика и следващото удвояване на импулса. Запазени са и изписванията „Хоризонталнаъа“ и „измението“.]

Оригинал в Архива: proletni_2022_11problems.pdf · официални решения: proletni_2022_11solutions.pdf