НПСФ 2022, 12. клас — Задача 1. Механика

• а) $d=\dfrac{y_{\max}}{\sin\beta}=\dfrac{\sqrt{21}}{5}\ \mathrm{m}\approx 0{,}9\ \mathrm{m}$ ≈ $0.9165$ m

  В оригинала е записано „разстояниято“ — правописна грешка в източника.

• б) $\tan\alpha=2\tan\beta=\sqrt{3}\ \Rightarrow\ \alpha=60^{\circ}$

• в) $v_0=\dfrac{\sqrt{2gy_{\max}}}{\sin\alpha}=4\ \mathrm{m/s}$

• г) $\tan\alpha'=2\tan\beta+\cot\beta=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\ \Rightarrow\ \alpha'\approx 71^{\circ}$

а) Разстоянието от точката на хвърляне до мястото на удара е $d = \dfrac{y_{\max}}{\sin\beta} = \dfrac{y_{\max}}{\tan\beta}\sqrt{1 + \tan^2\beta} = \dfrac{\sqrt{21}}{5}\ \mathrm{m} \approx 0{,}9\ \mathrm{m}$. [1,5 т.]

б) В координатната система на фигурата вляво законът за движение на тялото е: $x(t) = v_0\cos\alpha\,t$, $y(t) = v_0\sin\alpha\,t - \dfrac{gt^2}{2}$, където $t$ е изминалото време от хвърлянето на тялото. [1 т.] Максималната височина на издигане се определя от условието за нулиране на скоростта по $y$: $v_0\sin\alpha - gt_{y_{\max}} = 0$, откъдето след заместване в закона за движение по $y$ следва, че $y_{\max} = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$. [1 т.] В момента на удара координатите на тялото са $x\!\left(t_{y_{\max}}\right) = v_0\cos\alpha\,t_{y_{\max}} = \dfrac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = d\cos\beta$ и $y\!\left(t_{y_{\max}}\right) = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} = d\sin\beta$. [1 т.] Като разделим двете уравнения едно на друго, ще получим, че $\tan\alpha = 2\tan\beta = \sqrt{3}$, откъдето $\alpha = 60^{\circ}$. [1 т.]

в) Големината на началната скорост е $v_0 = \dfrac{\sqrt{2gy_{\max}}}{\sin\alpha} = 4\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]

г) Нека да използваме същата координатна система като в предните подусловия. В този случай скоростта на тялото е перпендикулярна на равнината в момента на удара. Може да се съобрази, че тогава $\dfrac{v_x}{|v_y|} = \dfrac{v_0\cos\alpha'}{gt_{\text{удар}} - v_0\sin\alpha'} = \tan\beta$, където $t_{\text{удар}}$ е изминалото време до удара. [1 т.] От друга страна, $\tan\beta = \dfrac{y\!\left(t_{\text{удар}}\right)}{x\!\left(t_{\text{удар}}\right)} = \dfrac{2v_0\sin\alpha' - gt_{\text{удар}}}{2v_0\cos\alpha'} = \dfrac{v_0\sin\alpha' - v_0\cos\alpha'\cot\beta}{2v_0\cos\alpha'} = \dfrac{\tan\alpha' - \cot\beta}{2}$. [1,5 т.] Оттук следва, че $\tan\alpha' = 2\tan\beta + \cot\beta = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$, т.е. $\alpha' \approx 71^{\circ}$. [1 т.]