НПСФ 2022, 12. клас — Задача 2. Топлинна машина

• а) Изохорите 1-2 и 3-4 са вертикални отсечки, изотермите 2-3 и 4-1 — хиперболични дъги, а изобарата 1-3 — хоризонтална отсечка (вж. фигурата към решението).
• б) $\Delta T=\dfrac{\Delta A'}{5nR}\left(\sqrt{1+\dfrac{4Q_{\text{отд}}}{\Delta\eta\Delta A'}}-1\right)\approx 36\ \mathrm{K}$
• в) $A_{41}=Q_{\text{отд}}-\dfrac{3nR\Delta T}{2}=0{,}3\ \mathrm{kJ}$
• г) $\eta_{134}=20\%,\qquad \eta_{1234}=\eta_{134}+\Delta\eta=25\%$

а) Процесите са представени на $pV$-диаграмата вляво. [1 т.]

б) Нека да означим с $A'_{ij}$ работата на газа при процеса $i$-$j$. Като използваме I принцип на термодинамиката, може да съобразим, че при изохорния процес 1-2 газът получава топлина $Q_{12} = 3nR\Delta T/2$, тъй като $A'_{12} = 0$. [0,5 т.] При изотермния процес 2-3 се получава топлина $Q_{23} = A'_{23}$, а при изобарния процес 1-3 получената топлина е $Q_{13} = A'_{13} + \dfrac{3nR\Delta T}{2} = \dfrac{5nR\Delta T}{2}$, тъй като $p_1 = p_3$ и $A'_{13} = p_3V_3 - p_1V_1 = nR(T_2 - T_1) = nR\Delta T$ (използваме уравнението на Клапейрон-Менделеев). [1,5 т.] При процесите 3-4 и 4-1 газът отдава общо топлина $Q_{\text{отд}} = \dfrac{3nR\Delta T}{2} - A'_{41}$. [1 т.] Разликата между работите при двата цикъла е $\Delta A' = A'_{1234} - A'_{134} = A'_{23} + A'_{41} - \left(A'_{13} + A'_{41}\right) = A'_{23} - A'_{13} = A'_{23} - nR\Delta T$. [0,5 т.] КПД за цикъла 1-2-3-4-1 е $\eta_{1234} = \dfrac{A'_{1234}}{Q_{12}+Q_{23}} = \dfrac{A'_{23}+A'_{41}}{Q_{12}+Q_{23}} = \dfrac{2{,}5nR\Delta T - Q_{\text{отд}} + \Delta A'}{2{,}5nR\Delta T + \Delta A'}$ [1 т.], докато КПД за цикъла 1-3-4-1 е $\eta_{134} = \dfrac{A'_{134}}{Q_{13}} = \dfrac{A'_{13}+A'_{41}}{Q_{13}} = \dfrac{2{,}5nR\Delta T - Q_{\text{отд}}}{2{,}5nR\Delta T}$ [0,5 т.]. Полагаме $x \equiv 2{,}5nR\Delta T > 0$ и получаваме, че $\Delta\eta = \dfrac{x - Q_{\text{отд}} + \Delta A'}{x + \Delta A'} - \dfrac{x - Q_{\text{отд}}}{x} = \dfrac{Q_{\text{отд}}\Delta A'}{x\left(x + \Delta A'\right)}$, откъдето следва квадратното уравнение $x^2 + x\Delta A' - \dfrac{Q_{\text{отд}}\Delta A'}{\Delta\eta} = 0$. [1 т.] Положителният корен на уравнението е $\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\left(\Delta A'\right)^2 + \dfrac{4Q_{\text{отд}}\Delta A'}{\Delta\eta}} - \Delta A'\right)$, т.е. $\Delta T = \dfrac{\Delta A'}{5nR}\left(\sqrt{1 + \dfrac{4Q_{\text{отд}}}{\Delta\eta\Delta A'}} - 1\right) \approx 36\ \mathrm{K}$. [1 т.]

в) Работата $A_{41} = -A'_{41} = Q_{\text{отд}} - \dfrac{3nR\Delta T}{2} = Q_{\text{отд}} - \dfrac{3\Delta A'}{10}\left(\sqrt{1 + \dfrac{4Q_{\text{отд}}}{\Delta\eta\Delta A'}} - 1\right) = 0{,}3\ \mathrm{kJ}$. [1 т.]

г) КПД са $\eta_{134} = \dfrac{x - Q_{\text{отд}}}{x} = 1 - \dfrac{2Q_{\text{отд}}}{\Delta A'\left(\sqrt{1 + \frac{4Q_{\text{отд}}}{\Delta\eta\Delta A'}} - 1\right)} = 20\%$ и $\eta_{1234} = \eta_{134} + \Delta\eta = 25\%$. [1 т.]