НПСФ 2022, 12. клас — Задача 3. Електростатика

• а) $\varphi_{\text{ц}}=\dfrac{2\sqrt{2}k(q+Q)}{\ell}$
• б) $T_{\text{хор}}=\dfrac{k\left(Q^2-q^2\right)}{2\ell^2}$
• в) $\tan\dfrac{\theta}{2}=\left(\dfrac{q}{Q}\right)^{2/3}\ \Rightarrow\ \theta=2\arctan\left(\dfrac{q}{Q}\right)^{2/3}$

а) Потенциалът в центъра на квадрата е сума от потенциалите на четирите заряда в тази точка: $\varphi_{\text{ц}} = \dfrac{2\sqrt{2}k(q+Q)}{\ell}$. [1 т.]

б) Системата е симетрична спрямо диагоналите на квадрата. Следователно силите на опън на четирите нишки по страните на квадрата са с една и съща големина $T$. [0,5 т.] На дясното топче действат силата $T_{\text{хор}}$ и две взаимно перпендикулярни сили на опън с големина $T$, чиято геометрична сума е вектор, насочен хоризонтално наляво, с големина $\sqrt{2}T$. Аналогично, векторната сума на силите $F_{qQ}$, с които горният и долният заряди действат на десния заряд, е сила с големина $\dfrac{\sqrt{2}kqQ}{\ell^2}$, насочена хоризонтално надясно. [0,5 т.] На десния заряд действа също така и левият заряд със сила с големина $F_{QQ} = \dfrac{kQ^2}{2\ell^2}$, насочена хоризонтално надясно. [0,5 т.] От условието за равновесие на дясното топче имаме, че $T_{\text{хор}} + \sqrt{2}T = \dfrac{kQ^2}{2\ell^2} + \dfrac{\sqrt{2}kqQ}{\ell^2}$. [0,5 т.] От фигурата по-горе може да се види, че условието за равновесие на долния заряд се изразява по следния начин: $\sqrt{2}T = \dfrac{kq^2}{2\ell^2} + \dfrac{\sqrt{2}kqQ}{\ell^2}$. [1 т.] Като извадим двете уравнения, получаваме $T_{\text{хор}} = \dfrac{k\left(Q^2 - q^2\right)}{2\ell^2}$. [1 т.]

в) След прерязването на хоризонталната нишка системата се разтяга в хоризонтално направление, тъй като $Q > q$ (вж. фигурата вляво), но остава симетрична спрямо диагоналите на така получения ромб. На дясното топче действат нови сили на опън $T'$, които сключват ъгъл $\theta$ помежду си. Тяхната векторна сума е с големина $2T'\cos\theta/2$. Дължината на големия диагонал на ромба е $d = 2\ell\cos\theta/2$. [0,5 т.] Сумарната Кулонова сила върху дясното топче е насочена надясно и има големина $F'_{QQ} + 2F_{qQ}\cos\theta/2 = \dfrac{kQ^2}{d^2} + \dfrac{2kqQ\cos\theta/2}{\ell^2} = \dfrac{kQ^2}{4\ell^2\cos^2\theta/2} + \dfrac{2kqQ\cos\theta/2}{\ell^2}$. [1 т.] Условието за равновесие на дясното топче е $2T'\cos\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{kQ^2}{4\ell^2\cos^2\theta/2} + \dfrac{2kqQ\cos\theta/2}{\ell^2}$. [0,5 т.] След подобни разсъждения се вижда, че за да бъде долното топче в равновесие, трябва да е изпълнено следното условие: $2T'\sin\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{kq^2}{4\ell^2\sin^2\theta/2} + \dfrac{2kqQ\sin\theta/2}{\ell^2}$. [2 т.] Оттук $T' = \dfrac{kq^2}{8\ell^2\sin^3\theta/2} + \dfrac{kqQ}{\ell^2} = \dfrac{kQ^2}{8\ell^2\cos^3\theta/2} + \dfrac{kqQ}{\ell^2}$, т.е. $\tan\dfrac{\theta}{2} = \left(\dfrac{q}{Q}\right)^{2/3}$. [1 т.]