НПСФ 2022, 7. клас — Задача 2. Напред-назад по реката

• а) $N_1 = N_0 + N' = \frac{L}{ut} + \frac{L}{(v-u)t} = 60 + 20 = 80$
• б) $N_2 = N_0 - N'' = 60 - 12 = 48$

Вариант 1

а) Интервалът между пускане във водата на два ствола, изразен в часове, е:

(0,5 точки)

Понеже стволовете се движат със скоростта на течението, разстоянието между последователните стволове е:

(0,5 точки)

Следователно в момента, когато катерът тръгва от пристанището $B$, в реката между точките $A$ и $B$ се намират:

(1 точка)

дървени ствола, с всички от които катерът се разминава по време на пътуването си. Когато се движи срещу течението, скоростта на катера спрямо бреговете е:

(0,5 точки)

и той пътува от $B$ до $A$ за време:

(0,5 точки)

Следователно, освен с $N_0$ ствола, които вече са били в реката, катерът ще се размине с още:

(1 точка)

ствола, които ще бъдат пуснати в реката, докато катерът пътува от $B$ към $A$. Така че, по време на пътуването срещу течението катерът ще се размине общо с:

(1 точка)

дървени ствола.

б) Когато катерът тръгва от т. $A$ по течението, във водата между т. $A$ и т. $B$ се намират същият брой $N_0 = 60$ ствола. (1 точка) Катерът се движи по течението със скорост:

(0,5 точки)

и стига в пристанището $B$ след време:

(0,5 точки)

От намиращите се във водата стволове за това време до пристанището ще стигнат тези, които се намират от т. $B$ на разстояние, по-малко от:

(1 точка)

т.е.

(1 точка)

ствола, които катерът не може да задмине. Следователно броят стволове, които катерът ще задмине по време на връщането си, е:

(1 точка)

Вариант 2

а) Интервалът между пускане във водата на два ствола, изразен в часове, е:

(0,5 точки)

Понеже стволовете се движат със скоростта на течението, разстоянието между последователните стволове е:

(0,5 точки)

Когато се движи срещу течението, скоростта на катера спрямо бреговете е:

(0,5 точки)

и той пътува от $B$ до $A$ за време:

(0,5 точки)

Спрямо водата обаче стволовете са неподвижни, а катерът се движи срещу тях със скорост $v = 12\ \mathrm{km/h}$. (1 точка) Следователно катерът ще се разминава с дървен ствол през интервал от време:

(1 точка)

Затова общият брой стволове, с които катерът ще се размине на отиване, е:

(1 точка)

б) На обратния път разстоянието между последователните стволове е същото, както на идване: $d = 0{,}5\ \mathrm{km}$. (1 точка) На връщане скоростта на катера спрямо бреговете е:

(0,5 точки)

и той пътува от $B$ до $A$ за време:

(0,5 точки)

Спрямо водата обаче стволовете са неподвижни и катерът ги задминава със скорост $v = 12\ \mathrm{km/h}$. (1 точка) Следователно катерът ще задминава дървен ствол през същия интервал от време:

(1 точка)

както на отиване. Затова общият брой стволове, които катерът ще задмине на връщане, е:

(1 точка)